Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{y}}{e^{x}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} \cdot \frac{e^{y}}{e^{x}}$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gabungkan.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 e^{y}}{e^{y} e^{x}}$

Langkah 1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 e^{y}}{e^{y + x}}$

Langkah 1.2.3

Kalikan $e^{y}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y}}{e^{y + x}}$

Langkah 1.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $e^{y}$ dan $e^{y + x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Faktorkan $e^{y + x}$ dari $e^{y}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y + x} e^{y - (y + x)}}{e^{y + x}}$

Langkah 1.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y + x} e^{y - (y + x)}}{e^{y + x} \cdot 1}$

Langkah 1.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y + x} e^{y - (y + x)}}{e^{y + x} \cdot 1}$

Langkah 1.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y - (y + x)}}{1}$

Langkah 1.2.4.2.4

Bagilah $e^{y - (y + x)}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = e^{y - (y + x)}$

Langkah 1.2.5

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = e^{y - y - x}$

Langkah 1.2.6

Kurangi $y$ dengan $y$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = e^{0 - x}$

Langkah 1.2.7

Kurangi $x$ dengan $0$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = e^{- x}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{e^{y}} d y = e^{- x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int e^{- x} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Tiadakan eksponen dari $e^{y}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int e^{- x} d x$

Langkah 2.2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int e^{- x} d x$

Langkah 2.2.1.2.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int e^{- x} d x$

Langkah 2.2.1.2.1.3

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int e^{- x} d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $e^{- y}$ dengan $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int e^{- x} d x$

Langkah 2.2.2

Biarkan $u_{1} = - y$ . Kemudian $d u_{1} = - d y$ sehingga $- d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Biarkan $u_{1} = - y$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Diferensialkan $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 2.2.2.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 2.2.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int - e^{u_{1}} d u_{1} = \int e^{- x} d x$

Langkah 2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int e^{- x} d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $e^{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $e^{u_{1}}$ .

$- (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int e^{- x} d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$- e^{u_{1}} + C_{1} = \int e^{- x} d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int e^{- x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u_{2} = - x$ . Kemudian $d u_{2} = - d x$ sehingga $- d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u_{2} = - x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3.1.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- e^{- y} + C_{1} = - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.3

Integral dari $e^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $e^{u_{2}}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = - (e^{u_{2}} + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$- e^{- y} + C_{1} = - e^{u_{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.5

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- x$ .

$- e^{- y} + C_{1} = - e^{- x} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- e^{- y} = - e^{- x} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $- e^{- y} = - e^{- x} + K$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $- e^{- y} = - e^{- x} + K$ dengan $- 1$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{- e^{- x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{- e^{- x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Langkah 3.1.2.2

Bagilah $e^{- y}$ dengan $1$ .

$e^{- y} = \frac{- e^{- x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$e^{- y} = \frac{e^{- x}}{1} + \frac{K}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.2

Bagilah $e^{- x}$ dengan $1$ .

$e^{- y} = e^{- x} + \frac{K}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.3

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = e^{- x} - 1 \cdot K$

Langkah 3.1.3.1.4

Tulis kembali $- 1 \cdot K$ sebagai $- K$ .

$e^{- y} = e^{- x} - K$

Langkah 3.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- y}) = \ln (e^{- x} - K)$

Langkah 3.3

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Perluas $\ln (e^{- y})$ dengan memindahkan $- y$ ke luar logaritma.

$- y \ln (e) = \ln (e^{- x} - K)$

Langkah 3.3.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (e^{- x} - K)$

Langkah 3.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- y = \ln (e^{- x} - K)$

Langkah 3.4

Bagi setiap suku pada $- y = \ln (e^{- x} - K)$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Bagilah setiap suku di $- y = \ln (e^{- x} - K)$ dengan $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (e^{- x} - K)}{- 1}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (e^{- x} - K)}{- 1}$

Langkah 3.4.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (e^{- x} - K)}{- 1}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\ln (e^{- x} - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (e^{- x} - K)$

Langkah 3.4.3.2

Tulis kembali $- 1 \cdot \ln (e^{- x} - K)$ sebagai $- \ln (e^{- x} - K)$ .

$y = - \ln (e^{- x} - K)$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - \ln (e^{- x} + K)$