Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 1}{2 (y + 3)}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y + 3$ .

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) (- \frac{x + 1}{2 (y + 3)})$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x + 1}{2 (y + 3)}$ ke dalam pembilangnya.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{- (x + 1)}{2 (y + 3)}$

Langkah 1.2.1.2

Faktorkan $y + 3$ dari $2 (y + 3)$ .

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{- (x + 1)}{(y + 3) \cdot 2}$

Langkah 1.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{- (x + 1)}{(y + 3) \cdot 2}$

Langkah 1.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = \frac{- (x + 1)}{2}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = - \frac{x + 1}{2}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$(y + 3) d y = - \frac{x + 1}{2} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y + 3 d y = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int y d y + \int 3 d y = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 3 d y = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Langkah 2.2.3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 3 y + C_{2} = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \int \frac{x + 1}{2} d x$

Langkah 2.3.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - (\frac{1}{2} \int x + 1 d x)$

Langkah 2.3.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} (\int x d x + \int d x)$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int d x)$

Langkah 2.3.5

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + x + C_{5})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + x) + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + x) + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + x) + K$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + x) + K$

Langkah 3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} x + K$

Langkah 3.2.3

Kalikan $- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Kalikan $\frac{x^{2}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} x + K$

Langkah 3.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{2} x + K$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + K$

Langkah 3.3

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tambahkan $\frac{x^{2}}{4}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{x^{2}}{4} = - \frac{x}{2} + K$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $\frac{x}{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} = K$

Langkah 3.3.3

Kurangkan $K$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} - K = 0$

Langkah 3.4

Kalikan dengan penyebut sekutu terkecil $4$ , kemudian sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$4 (\frac{y^{2}}{2}) + 4 (3 y) + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 (2) (\frac{y^{2}}{2}) + 4 (3 y) + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot (2 (\frac{y^{2}}{2})) + 4 (3 y) + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 y^{2} + 4 (3 y) + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.2

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$2 y^{2} + 12 y + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 y^{2} + 12 y + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 2 (2) (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 2 \cdot (2 (\frac{x}{2})) + 4 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 2 x + 4 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 2 x - 4 K = 0$

Langkah 3.4.3

Pindahkan $12 y$ .

$2 y^{2} + x^{2} + 2 x - 4 K + 12 y = 0$

Langkah 3.4.4

Pindahkan $2 x$ .

$2 y^{2} + x^{2} - 4 K + 2 x + 12 y = 0$

Langkah 3.4.5

Susun kembali $2 y^{2}$ dan $x^{2}$ .

$x^{2} + 2 y^{2} - 4 K + 2 x + 12 y = 0$

Langkah 3.5

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.6

Substitusikan nilai-nilai $a = 2$ , $b = 12$ , dan $c = x^{2} - 4 K + 2 x$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (x^{2} - 4 K + 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1

Naikkan $12$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 4 K + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.7.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (x^{2} - 4 K + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.7.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 x^{2} - 8 (- 4 K) - 8 (2 x)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.7.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.4.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 x^{2} + 32 K - 8 (2 x)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.7.1.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 x^{2} + 32 K - 16 x}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.7.1.5

Faktorkan $8$ dari $144 - 8 x^{2} + 32 K - 16 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.5.1

Faktorkan $8$ dari $144$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18) - 8 x^{2} + 32 K - 16 x}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.7.1.5.2

Faktorkan $8$ dari $- 8 x^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18) + 8 (- x^{2}) + 32 K - 16 x}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.7.1.5.3

Faktorkan $8$ dari $32 K$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18) + 8 (- x^{2}) + 8 (4 K) - 16 x}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.7.1.5.4

Faktorkan $8$ dari $- 16 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18) + 8 (- x^{2}) + 8 (4 K) + 8 (- 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.7.1.5.5

Faktorkan $8$ dari $8 (18) + 8 (- x^{2})$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18 - x^{2}) + 8 (4 K) + 8 (- 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.7.1.5.6

Faktorkan $8$ dari $8 (18 - x^{2}) + 8 (4 K)$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18 - x^{2} + 4 K) + 8 (- 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.7.1.5.7

Faktorkan $8$ dari $8 (18 - x^{2} + 4 K) + 8 (- 2 x)$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.7.1.6

Tulis kembali $8 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)$ sebagai $2^{2} \cdot (2 (18 - x^{2} + 2^{2} K - 2 x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.6.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (2) (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.7.1.6.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.7.1.6.3

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (18 - x^{2} + 2^{2} K - 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.7.1.6.4

Tambahkan tanda kurung.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (18 - x^{2} + 2^{2} K - 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.7.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (18 - x^{2} + 2^{2} K - 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.7.1.8

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.7.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{4}$

Langkah 3.7.3

Sederhanakan $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{4}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2}$

Langkah 3.8

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K - 2 x + 18)} + 6}{2}$

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K - 2 x + 18)} + 6}{2}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (18 - x^{2} + K - 2 x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + K - 2 x + 18)} + 6}{2}$