Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{3} - 3$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 1.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\ln (x)}$

Langkah 1.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \cdot x^{3} + x \cdot - 3$

Langkah 2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \cdot x^{3} + x \cdot - 3$

Langkah 2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \cdot x^{3} + x \cdot - 3$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \cdot x^{3} + x \cdot - 3$

Langkah 2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{1} x^{3} + x \cdot - 3$

Langkah 2.3.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{1 + 3} + x \cdot - 3$

Langkah 2.3.1.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{4} + x \cdot - 3$

Langkah 2.3.2

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{4} - 3 x$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{4} - 3 x$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{4} - 3 x d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$x y = \int x^{4} - 3 x d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$x y = \int x^{4} d x + \int - 3 x d x$

Langkah 6.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 3 x d x$

Langkah 6.3

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 3$ keluar dari integral.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 3 \int x d x$

Langkah 6.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Sederhanakan.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 6.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{- 3}{2} x^{2} + C$

Langkah 6.5.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$ dengan $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{5}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x^{1}} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.1.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{4}}{1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.1.2.5

Bagilah $\frac{1}{5} x^{4}$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{4} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.2

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.3.1

Faktorkan $x$ dari $- \frac{3}{2} x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{- \frac{3}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.3.2.5

Bagilah $- \frac{3}{2} x$ dengan $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{3}{2} x + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.5

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{3 x}{2} + \frac{C}{x}$