Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{e^{x}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{y^{3}}{e^{x}}$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gabungkan.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{3}}{y^{3} e^{x}}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{3}}{y^{3} e^{x}}$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{1}{e^{x}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 3}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Tulis kembali $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Langkah 2.2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{y^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Langkah 2.2.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tiadakan eksponen dari $e^{x}$ dan pindahkan dari penyebut.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.1.2.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Langkah 2.3.1.2.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 1 e^{- x} d x$

Langkah 2.3.1.2.2

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int e^{- x} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3.2.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int - e^{u} d u$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \int e^{u} d u$

Langkah 2.3.4

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - e^{- x} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - e^{- x} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$2 y^{2}, 1, 1$

Langkah 3.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$2 y^{2}$

Langkah 3.2

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{2 y^{2}} = - e^{- x} + K$ dengan $2 y^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{2 y^{2}} = - e^{- x} + K$ dengan $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - e^{- x} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2 y^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - e^{- x} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Langkah 3.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - e^{- x} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Langkah 3.2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = - e^{- x} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 1 = - 1 \cdot 2 e^{- x} y^{2} + K (2 y^{2})$

Langkah 3.2.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 1 = - 2 e^{- x} y^{2} + K (2 y^{2})$

Langkah 3.2.3.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 1 = - 2 e^{- x} y^{2} + 2 K y^{2}$

Langkah 3.2.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- 2 e^{- x} y^{2} + 2 K y^{2}$ .

$- 1 = - 2 y^{2} e^{- x} + 2 K y^{2}$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 2 y^{2} e^{- x} + 2 K y^{2} = - 1$ .

$- 2 y^{2} e^{- x} + 2 K y^{2} = - 1$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $2 y^{2}$ dari $- 2 y^{2} e^{- x} + 2 K y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Faktorkan $2 y^{2}$ dari $- 2 y^{2} e^{- x}$ .

$2 y^{2} (- 1 e^{- x}) + 2 K y^{2} = - 1$

Langkah 3.3.2.2

Faktorkan $2 y^{2}$ dari $2 K y^{2}$ .

$2 y^{2} (- 1 e^{- x}) + 2 y^{2} K = - 1$

Langkah 3.3.2.3

Faktorkan $2 y^{2}$ dari $2 y^{2} (- 1 e^{- x}) + 2 y^{2} K$ .

$2 y^{2} (- 1 e^{- x} + K) = - 1$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$2 y^{2} (- e^{- x} + K) = - 1$

Langkah 3.3.4

Bagi setiap suku pada $2 y^{2} (- e^{- x} + K) = - 1$ dengan $2 (- e^{- x} + K)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Bagilah setiap suku di $2 y^{2} (- e^{- x} + K) = - 1$ dengan $2 (- e^{- x} + K)$ .

$\frac{2 y^{2} (- e^{- x} + K)}{2 (- e^{- x} + K)} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Langkah 3.3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y^{2} (- e^{- x} + K)}{2 (- e^{- x} + K)} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Langkah 3.3.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y^{2} (- e^{- x} + K)}{- e^{- x} + K} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Langkah 3.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $- e^{- x} + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} (- e^{- x} + K)}{- e^{- x} + K} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Langkah 3.3.4.2.2.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Langkah 3.3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Langkah 3.3.4.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- e^{- x}$ .

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (e^{- x}) + K)}$

Langkah 3.3.4.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $K$ .

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (e^{- x}) - 1 (- K))}$

Langkah 3.3.4.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (e^{- x} - K))}$

Langkah 3.3.4.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.3.5.1

Tulis kembali $- (e^{- x} - K)$ sebagai $- 1 (e^{- x} - K)$ .

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- 1 (e^{- x} - K))}$

Langkah 3.3.4.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = - - \frac{1}{2 (e^{- x} - K)}$

Langkah 3.3.4.3.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y^{2} = 1 \frac{1}{2 (e^{- x} - K)}$

Langkah 3.3.4.3.5.4

Kalikan $\frac{1}{2 (e^{- x} - K)}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{2 (e^{- x} - K)}$

Langkah 3.3.5

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{2 (e^{- x} - K)}}$

Langkah 3.3.6

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{1}{2 (e^{- x} - K)}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{2 (e^{- x} - K)}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Langkah 3.3.6.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Langkah 3.3.6.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ dengan $\frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Langkah 3.3.6.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ dengan $\frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)} \sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Langkah 3.3.6.4.2

Naikkan $\sqrt{2 (e^{- x} - K)}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{1} \sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Langkah 3.3.6.4.3

Naikkan $\sqrt{2 (e^{- x} - K)}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{1} {\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{1}}$

Langkah 3.3.6.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.3.6.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{2}}$

Langkah 3.3.6.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{2}$ sebagai $2 (e^{- x} - K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2 (e^{- x} - K)}$ sebagai ${(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{({(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.3.6.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.3.6.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.3.6.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.3.6.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{(2 (e^{- x} - K))}^{1}}$

Langkah 3.3.6.4.6.5

Sederhanakan.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

Langkah 3.3.7

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

Langkah 3.3.7.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

Langkah 3.3.7.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

$y = \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

$y = \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

$y = \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt{2 (e^{- x} + K)}}{2 (e^{- x} + K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (e^{- x} + K)}}{2 (e^{- x} + K)}$