Kalkulus Contoh

$(x^{2} + 2 x y) d y = y^{2} d x$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $y^{2} d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(x^{2} + 2 x y) d y - y^{2} d x = 0$

Langkah 1.2

Tulis kembali.

$- y^{2} d x + (x^{2} + 2 x y) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = - y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y^{2}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

Langkah 2.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x^{2} + 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y]$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 2 x y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $x$ adalah $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \cdot 1$

Langkah 3.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 2 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 x + 2 y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = 2 x + 2 y$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$- 2 y = 2 x + 2 y$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- 2 y$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 5.2

Substitusikan $2 x + 2 y$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y - (2 x + 2 y)}{N}$

Langkah 5.3

Substitusikan $x^{2} + 2 x y$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $x^{2} + 2 x y$ untuk $N$ .

$\frac{- 2 y - (2 x + 2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- 2 y - (2 x) - (2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

Langkah 5.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 2 y - 2 x - (2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

Langkah 5.3.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 2 y - 2 x - 2 y}{x^{2} + 2 x y}$

Langkah 5.3.2.4

Kurangi $2 y$ dengan $- 2 y$ .

$\frac{- 2 x - 4 y}{x^{2} + 2 x y}$

Langkah 5.3.2.5

Faktorkan $2$ dari $- 2 x - 4 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.5.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) - 4 y}{x^{2} + 2 x y}$

Langkah 5.3.2.5.2

Faktorkan $2$ dari $- 4 y$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (- 2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

Langkah 5.3.2.5.3

Faktorkan $2$ dari $2 (- x) + 2 (- 2 y)$ .

$\frac{2 (- x - 2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $x$ dari $x^{2} + 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{2 (- x - 2 y)}{x \cdot x + 2 x y}$

Langkah 5.3.3.2

Faktorkan $x$ dari $2 x y$ .

$\frac{2 (- x - 2 y)}{x \cdot x + x (2 y)}$

Langkah 5.3.3.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x (2 y)$ .

$\frac{2 (- x - 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $- x - 2 y$ dan $x + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.3.4.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 y$ .

$\frac{2 (- (x) - (2 y))}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.3.4.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - (2 y)$ .

$\frac{2 (- (x + 2 y))}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.3.4.4

Tulis kembali $- (x + 2 y)$ sebagai $- 1 (x + 2 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 2 y))}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.3.4.5

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- 1 (x + 2 y))}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.3.4.6

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

Langkah 5.3.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Langkah 5.3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{x}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Langkah 6.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 6.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 6.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Langkah 6.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $- 2$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Langkah 6.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Langkah 6.6.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{- 2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Langkah 6.6.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $- y^{2} d x + (x^{2} + 2 x y) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- y^{2}$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- y^{2} \frac{1}{x^{2}} d x + (x^{2} + 2 x y) d y = 0$

Langkah 7.2

Gabungkan $\frac{1}{x^{2}}$ dan $y^{2}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + 2 x y) d y = 0$

Langkah 7.3

Kalikan $x^{2} + 2 x y$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 7.4

Kalikan $x^{2} + 2 x y$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x^{2} + 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 7.5

Faktorkan $x$ dari $x^{2} + 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 7.5.2

Faktorkan $x$ dari $2 x y$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (2 y)}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 7.5.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x (2 y)$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 2 y)}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 7.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

Langkah 7.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

Langkah 7.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x + 2 y}{x} d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{y^{2}}{x^{2}} d x$

Langkah 9

Integralkan $M (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{2}}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - \int \frac{y^{2}}{x^{2}} d x$

Langkah 9.2

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $y^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - (y^{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Langkah 9.3

Hilangkan tanda kurung.

$f (x, y) = - y^{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 9.4

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$f (x, y) = - y^{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 9.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - y^{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 9.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = - y^{2} \int x^{- 2} d x$

Langkah 9.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$f (x, y) = - y^{2} (- x^{- 1} + C)$

Langkah 9.7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.7.1

Tulis kembali $- y^{2} (- x^{- 1} + C)$ sebagai $- y^{2} (- \frac{1}{x}) + C$ .

$f (x, y) = - y^{2} (- \frac{1}{x}) + C$

Langkah 9.7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.7.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = 1 y^{2} \frac{1}{x} + C$

Langkah 9.7.2.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$f (x, y) = y^{2} \frac{1}{x} + C$

Langkah 9.7.2.3

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + C$

Langkah 10

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + g (y)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + 2 y}{x}$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{x} + g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{y^{2}}{x} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Karena $\frac{1}{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{y^{2}}{x}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

Langkah 12.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{x} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

Langkah 12.3.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

Langkah 12.3.4

Gabungkan $\frac{2}{x}$ dan $y$ .

$\frac{2 y}{x} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{2 y}{x} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + 2 y}{x}$

Langkah 12.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y}{x} = \frac{x + 2 y}{x}$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.1

Kurangkan $\frac{x + 2 y}{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y}{x} - \frac{x + 2 y}{x} = 0$

Langkah 13.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y - (x + 2 y)}{x} = 0$

Langkah 13.1.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y - x - (2 y)}{x} = 0$

Langkah 13.1.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y - x - 2 y}{x} = 0$

Langkah 13.1.1.4

Gabungkan suku balikan dalam $2 y - x - 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.4.1

Kurangi $2 y$ dengan $2 y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x + 0}{x} = 0$

Langkah 13.1.1.4.2

Tambahkan $- x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

Langkah 13.1.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

Langkah 13.1.1.5.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 = 0$

Langkah 13.1.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} = 1$

Langkah 14

Temukan $1$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Langkah 14.3

Terapkan aturan konstanta.

$g (y) = y + C$

Langkah 15

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + y + C$