Kalkulus Contoh

$x d y = y (x e^{2 x} + 1) d x$

Langkah 1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Langkah 2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Langkah 2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Langkah 2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Langkah 2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x} (x e^{2 x} + 1) d x$

Langkah 2.3

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $x e^{2 x} + 1$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

Langkah 3.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

Langkah 3.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.3.2

Bagilah $e^{2 x}$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.4

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 3.3.4.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 3.3.4.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 3.3.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.5

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.7

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.8

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Langkah 3.3.9

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 3.3.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C$

Langkah 4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$\ln (| y |) = \frac{e^{2 x}}{2} + \ln (| x |) + C$

Langkah 4.2

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 4.3

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 4.4

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Langkah 4.5

Tulis kembali $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Langkah 4.6

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Langkah 4.6.2

Kalikan kedua ruas dengan $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

Langkah 4.6.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

Langkah 4.6.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

Langkah 4.6.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Langkah 4.6.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Langkah 5

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$ sebagai $e^{\frac{e^{2 x}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{\frac{e^{2 x}}{2}} e^{C})$

Langkah 5.2

Susun kembali $e^{\frac{e^{2 x}}{2}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{\frac{e^{2 x}}{2}})$

Langkah 5.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2}}$