Kalkulus Contoh

$\frac{y d y}{d x} = \frac{2}{3 x^{2}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $\frac{d y}{d x}$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 x^{2}}$

Langkah 1.2

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = \frac{2}{3 x^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int \frac{2}{3 x^{2}} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2}{3 x^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{2}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 2.3.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} \int x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Tulis kembali $\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C_{2})$ sebagai $\frac{2}{3} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2}{3 x} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{2}{3 x} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{2}{3 x} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{2}{3 x} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{2}{3 x} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (- \frac{2}{3 x} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (- \frac{2}{3 x} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 (- \frac{2}{3 x}) + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.2

Kalikan $2 (- \frac{2}{3 x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y^{2} = - 2 \frac{2}{3 x} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.2.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{2}{3 x}$ .

$y^{2} = \frac{- 2 \cdot 2}{3 x} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.2.3

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$y^{2} = \frac{- 4}{3 x} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = - \frac{4}{3 x} + 2 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- \frac{4}{3 x} + 2 K}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{- \frac{4}{3 x} + 2 K}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $2$ dari $- \frac{4}{3 x} + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Faktorkan $2$ dari $- \frac{4}{3 x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2}{3 x}) + 2 K}$

Langkah 3.4.1.2

Faktorkan $2$ dari $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2}{3 x}) + 2 K}$

Langkah 3.4.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 (- \frac{2}{3 x}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2}{3 x} + K)}$

Langkah 3.4.2

Untuk menuliskan $K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3 x}{3 x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2}{3 x} + K \cdot \frac{3 x}{3 x})}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Gabungkan $K$ dan $\frac{3 x}{3 x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2}{3 x} + \frac{K (3 x)}{3 x})}$

Langkah 3.4.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 2 + K (3 x)}{3 x}}$

Langkah 3.4.4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 2 + 3 K x}{3 x}}$

Langkah 3.4.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{- 2 + 3 K x}{3 x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- 2 + 3 K x)}{3 x}}$

Langkah 3.4.6

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 (- 2 + 3 K x)}{3 x}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)}}{\sqrt{3 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)}}{\sqrt{3 x}}$

Langkah 3.4.7

Kalikan $\frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)}}{\sqrt{3 x}}$ dengan $\frac{\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)}}{\sqrt{3 x}} \cdot \frac{\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 x}}$

Langkah 3.4.8

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)}}{\sqrt{3 x}}$ dengan $\frac{\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{\sqrt{3 x} \sqrt{3 x}}$

Langkah 3.4.8.2

Naikkan $\sqrt{3 x}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{\sqrt{3 x}}^{1} \sqrt{3 x}}$

Langkah 3.4.8.3

Naikkan $\sqrt{3 x}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{\sqrt{3 x}}^{1} {\sqrt{3 x}}^{1}}$

Langkah 3.4.8.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{\sqrt{3 x}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.4.8.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{\sqrt{3 x}}^{2}}$

Langkah 3.4.8.6

Tulis kembali ${\sqrt{3 x}}^{2}$ sebagai $3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3 x}$ sebagai ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.4.8.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{(3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.4.8.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{(3 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.8.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{(3 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.8.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{(3 x)}^{1}}$

Langkah 3.4.8.6.5

Sederhanakan.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{3 x}$

Langkah 3.4.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.9.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x) (3 x)}}{3 x}$

Langkah 3.4.9.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (- 2 + 3 K x) x}}{3 x}$

Langkah 3.4.10

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm \frac{\sqrt{6 (- 2 + 3 K x) x}}{3 x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

$y = \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

$y = \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt{6 x (- 2 + K x)}}{3 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x (- 2 + K x)}}{3 x}$