Kalkulus Contoh

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y^{2}$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{x}{y^{2}}$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali $\frac{1}{y^{2}}$ sebagai ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Langkah 1.4.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{- 1}$ dan $g (y) = y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Langkah 1.4.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Langkah 1.4.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Langkah 1.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Langkah 1.4.5

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Langkah 1.4.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- y^{- 4} (2 y))$

Langkah 1.4.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{- 4} y)$

Langkah 1.4.7

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Langkah 1.4.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{1 - 4})$

Langkah 1.4.9

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{- 3})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 \frac{1}{y^{3}})$

Langkah 1.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{- 2}{y^{3}}$

Langkah 1.5.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- \frac{2}{y^{3}})$

Langkah 1.5.2.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{y^{3}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{x \cdot 2}{y^{3}}$

Langkah 1.5.2.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 4 x^{2} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x^{2} y]$

Langkah 2.2

Karena $4 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $4 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y (2 x)$

Langkah 2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 8 y x$

Langkah 2.4.2

Susun kembali faktor-faktor dari $8 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 8 x y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $8 x y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}} = 8 x y$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}} = 8 x y$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $8 x y$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{8 x y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ untuk $M$ .

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$

Langkah 4.3.2

Kalikan pembilang dan penyebut dari pecahan dengan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kalikan $\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$ dengan $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2}} \cdot \frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$

Langkah 4.3.2.2

Gabungkan.

$\frac{y^{2} (8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}})}$

Langkah 4.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + y^{2} \frac{x}{y^{2}}}$

Langkah 4.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + y^{2} \frac{x}{y^{2}}}$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Faktorkan $y^{3}$ dari $y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1.1

Faktorkan $y^{3}$ dari $y^{2} (8 x y)$ .

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.1.2

Faktorkan $y^{3}$ dari $y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))$ .

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{3} (y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.1.3

Faktorkan $y^{3}$ dari $y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{3} (y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))$ .

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y) + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{y^{3} (8 y^{- 1} (x y) + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.3

Kalikan $y^{- 1}$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.3.1

Pindahkan $y$ .

$\frac{y^{3} (8 (y \cdot y^{- 1}) x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.3.2

Kalikan $y$ dengan $y^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.3.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{y^{3} (8 (y^{1} y^{- 1}) x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{y^{3} (8 y^{1 - 1} x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.3.3

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{y^{3} (8 y^{0} x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.4

Sederhanakan $8 y^{0} x$ .

$\frac{y^{3} (8 x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{y^{3} (8 x - y^{- 1} (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{3} (8 x - \frac{1}{y} (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.7

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y^{3} (8 x - \frac{1}{y} (4 x y) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.8

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.8.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (4 x y) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.8.2

Faktorkan $y$ dari $4 x y$ .

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (y (4 x)) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.8.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (y (4 x)) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.8.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y^{3} (8 x - (4 x) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.9

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.10

Kalikan $- \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + 1 \frac{1}{y} \frac{2 x}{y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.10.2

Kalikan $\frac{1}{y}$ dengan $1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{1}{y} \cdot \frac{2 x}{y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.10.3

Kalikan $\frac{1}{y}$ dengan $\frac{2 x}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y \cdot y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.10.4

Kalikan $y$ dengan $y^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.10.4.1

Kalikan $y$ dengan $y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.10.4.1.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{1} y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.10.4.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{1 + 3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.10.4.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.11

Kurangi $4 x$ dengan $8 x$ .

$\frac{y^{3} (4 x + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.12

Faktorkan $2 x$ dari $4 x + \frac{2 x}{y^{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.12.1

Faktorkan $2 x$ dari $4 x$ .

$\frac{y^{3} (2 x (2) + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.12.2

Faktorkan $2 x$ dari $\frac{2 x}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{3} (2 x (2) + 2 x \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.12.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (2) + 2 x \frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{3} (2 x (2 + \frac{1}{y^{4}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

$\frac{y^{3} \cdot 2 x (2 + \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.13

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y^{4}}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{3} \cdot 2 x (\frac{2 y^{4}}{y^{4}} + \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.14

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{y^{3} \cdot 2 x \frac{2 y^{4} + 1}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.15

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.15.1

Gabungkan $y^{3}$ dan $\frac{2 y^{4} + 1}{y^{4}}$ .

$\frac{2 x \frac{y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.15.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}$ .

$\frac{x \frac{2 (y^{3} (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.15.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{2 (y^{3} (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}$ .

$\frac{\frac{x (2 (y^{3} (2 y^{4} + 1)))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.16

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$\frac{\frac{x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.17

Kurangi pernyataan $\frac{x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.17.1

Faktorkan $y^{3}$ dari $x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)$ .

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.17.2

Faktorkan $y^{3}$ dari $y^{4}$ .

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{3} y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.17.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{3} y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.17.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{x \cdot 2 (2 y^{4} + 1)}{y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.5.18

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Langkah 4.3.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1

Faktorkan $x$ dari $y^{2} (2 x y^{2}) + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1.1

Faktorkan $x$ dari $y^{2} (2 x y^{2})$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x}$

Langkah 4.3.6.1.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x^{1}}$

Langkah 4.3.6.1.3

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x \cdot 1}$

Langkah 4.3.6.1.4

Faktorkan $x$ dari $x (y^{2} (2 y^{2})) + x \cdot 1$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2}) + 1)}$

Langkah 4.3.6.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{2} y^{2} + 1)}$

Langkah 4.3.6.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.3.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 (y^{2} y^{2}) + 1)}$

Langkah 4.3.6.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{2 + 2} + 1)}$

Langkah 4.3.6.3.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{4} + 1)}$

Langkah 4.3.7

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y} \cdot \frac{1}{x (2 y^{4} + 1)}$

Langkah 4.3.8

Gabungkan.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (x (2 y^{4} + 1))}$

Langkah 4.3.9

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (x (2 y^{4} + 1))}$

Langkah 4.3.9.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(2 (2 y^{4} + 1)) \cdot 1}{y (2 y^{4} + 1)}$

Langkah 4.3.10

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y^{4} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.10.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (2 y^{4} + 1)}$

Langkah 4.3.10.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(2) \cdot 1}{y}$

Langkah 4.3.11

Substitusikan $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ untuk $M$ .

$\frac{2}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

Langkah 5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan $2 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

Langkah 5.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

Langkah 5.4.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$ dengan faktor integral $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ dengan $y^{2}$ .

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$(2 x y^{2} y^{2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$(2 x (y^{2} y^{2}) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Langkah 6.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(2 x y^{2 + 2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Langkah 6.3.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$(2 x y^{4} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Langkah 6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(2 x y^{4} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Langkah 6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $4 x^{2} y$ dengan $y^{2}$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y \cdot y^{2} d y = 0$

Langkah 6.6

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} (y^{2} y) d y = 0$

Langkah 6.6.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} (y^{2} y^{1}) d y = 0$

Langkah 6.6.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y^{2 + 1} d y = 0$

Langkah 6.6.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y^{3} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 x^{2} y^{3} d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = 4 x^{2} y^{3}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $4 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $4 x^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 4 x^{2} \int y^{3} d y$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{3}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$f (x, y) = 4 x^{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Langkah 8.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Tulis kembali $4 x^{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ sebagai $4 x^{2} \frac{1}{4} y^{4} + C$ .

$f (x, y) = 4 x^{2} \frac{1}{4} y^{4} + C$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{4}{4} y^{4} + C$

Langkah 8.3.2.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot 4}{4} y^{4} + C$

Langkah 8.3.2.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot x^{2}}{4} y^{4} + C$

Langkah 8.3.2.4

Kalikan $4$ dengan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{4} y^{4} + C$

Langkah 8.3.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{4} y^{4} + C$

Langkah 8.3.2.5.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y^{4} + x$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y^{4} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $y^{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{2} y^{4}$ terhadap $x$ adalah $y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Langkah 11.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{4}$ .

$2 y^{4} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{4} x + \frac{d g}{d x} = 2 x y^{4} + x$

Langkah 11.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{4} x = 2 x y^{4} + x$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $2 y^{4} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y^{4} + x - 2 y^{4} x$

Langkah 12.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x y^{4} + x - 2 y^{4} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $2 x y^{4}$ dan $- 2 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{4} x + x - 2 y^{4} x$

Langkah 12.1.2.2

Kurangi $2 y^{4} x$ dengan $2 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Langkah 12.1.2.3

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Langkah 13

Temukan $x$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Langkah 13.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x^{2} y^{4} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 15

Sederhanakan $f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Langkah 15.2

Susun kembali faktor-faktor dari $x^{2} y^{4}$ .

$f (x, y) = y^{4} x^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Langkah 15.3

Untuk menuliskan $y^{4} x^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y^{4} x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Langkah 15.4

Gabungkan $y^{4} x^{2}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Langkah 15.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2} + C$

Langkah 15.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.6.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $y^{4} x^{2} \cdot 2 + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.6.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $y^{4} x^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2}}{2} + C$

Langkah 15.6.1.2

Kalikan dengan $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2} \cdot 1}{2} + C$

Langkah 15.6.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2} \cdot 1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Langkah 15.6.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y^{4} + 1)}{2} + C$