Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x^{3}}{3 y^{2}}$ , $y (0) = 2$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x^{3}}{3 y^{2}}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x^{3}}{y^{2} \cdot 3}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x^{3}}{y^{2} \cdot 3}$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{8 x^{3}}{3}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y^{2} d y = \frac{8 x^{3}}{3} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y^{2} d y = \int \frac{8 x^{3}}{3} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{8 x^{3}}{3} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{8}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{8}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} \int x^{3} d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $\frac{8}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ sebagai $\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Kalikan $\frac{8}{3}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3 \cdot 4} x^{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{12} x^{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.3.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{4 (2)}{12} x^{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 3} x^{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 3} x^{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{3} x^{4} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{2}{3} x^{4} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{3} = 3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{4}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{2 x^{4}}{3} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{3} = 3 \frac{2 x^{4}}{3} + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{3} = 3 \frac{2 x^{4}}{3} + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{3} = 2 x^{4} + 3 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \sqrt[3]{2 x^{4} + 3 K}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt[3]{2 x^{4} + K}$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $2$ untuk $y$ padda $y = \sqrt[3]{2 x^{4} + K}$ .

$2 = \sqrt[3]{2 \cdot 0^{4} + K}$

Langkah 6

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sqrt[3]{2 \cdot 0^{4} + K} = 2$ .

$\sqrt[3]{2 \cdot 0^{4} + K} = 2$

Langkah 6.2

Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.

${\sqrt[3]{2 \cdot 0^{4} + K}}^{3} = 2^{3}$

Langkah 6.3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{2 \cdot 0^{4} + K}$ sebagai ${(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Sederhanakan ${({(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Langkah 6.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Langkah 6.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(2 \cdot 0^{4} + K)}^{1} = 2^{3}$

Langkah 6.3.2.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

${(2 \cdot 0 + K)}^{1} = 2^{3}$

Langkah 6.3.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $0$ .

${(0 + K)}^{1} = 2^{3}$

Langkah 6.3.2.1.3

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.3.1

Tambahkan $0$ dan $K$ .

$K^{1} = 2^{3}$

Langkah 6.3.2.1.3.2

Sederhanakan.

$K = 2^{3}$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$K = 8$

Langkah 7

Substitusikan $8$ untuk $K$ dalam $y = \sqrt[3]{2 x^{4} + K}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $8$ untuk $K$ .

$y = \sqrt[3]{2 x^{4} + 8}$

Langkah 7.2

Faktorkan $2$ dari $2 x^{4} + 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{4}$ .

$y = \sqrt[3]{2 (x^{4}) + 8}$

Langkah 7.2.2

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$y = \sqrt[3]{2 x^{4} + 2 \cdot 4}$

Langkah 7.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 x^{4} + 2 \cdot 4$ .

$y = \sqrt[3]{2 (x^{4} + 4)}$