Kalkulus Contoh

$x y y' = 1 - x^{2}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensialnya.

$x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$

Langkah 2

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Bagi setiap suku pada $x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$ dengan $x y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Bagilah setiap suku di $x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$ dengan $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Langkah 2.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Langkah 2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Langkah 2.1.2.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Langkah 2.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x y}$

Langkah 2.1.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x (y)}$

Langkah 2.1.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x y}$

Langkah 2.1.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{- x}{y}$

Langkah 2.1.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x}{y}$

Langkah 2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menuliskan $- \frac{x}{y}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 2.2.2

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $x y$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan $\frac{x}{y}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x \cdot x}{y x}$

Langkah 2.2.2.2

Susun kembali faktor-faktor dari $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x \cdot x}{x y}$

Langkah 2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - x \cdot x}{x y}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - x \cdot x}{x y}$

Langkah 2.2.4.2

Tulis kembali $x \cdot x$ sebagai $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - x^{2}}{x y}$

Langkah 2.2.4.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x y}$

Langkah 2.3

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Langkah 2.4

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kalikan $\frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{x y}$

Langkah 2.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{y x}$

Langkah 2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{y x}$

Langkah 2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$

Langkah 2.6

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Langkah 3.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 (1 - x) + x (1 - x)}{x} d x$

Langkah 3.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)}{x} d x$

Langkah 3.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x} d x$

Langkah 3.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Susun kembali $x$ dan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x)}{x} d x$

Langkah 3.3.4.2

Susun kembali $x$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x}{x} d x$

Langkah 3.3.4.3

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Langkah 3.3.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Langkah 3.3.4.5

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Langkah 3.3.5

Buang faktor negatif.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x} d x$

Langkah 3.3.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x)}{x} d x$

Langkah 3.3.7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x^{1})}{x} d x$

Langkah 3.3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - x^{1 + 1}}{x} d x$

Langkah 3.3.9

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - x^{2}}{x} d x$

Langkah 3.3.10

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 0 - x^{2}}{x} d x$

Langkah 3.3.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.11.1

Kurangi $x^{2}$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

Langkah 3.3.11.2

Susun kembali $1$ dan $- x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{- x^{2} + 1}{x} d x$

Langkah 3.3.12

Bagilah $- x^{2} + 1$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.12.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Langkah 3.3.12.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Langkah 3.3.12.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

Langkah 3.3.12.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- x^{2} + 0$

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

Langkah 3.3.12.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Langkah 3.3.12.6

Mengeluarkan suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Langkah 3.3.12.7

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.13

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.14

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.15

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.16

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Langkah 3.3.17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.17.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Langkah 3.3.17.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

Langkah 4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Langkah 4.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Langkah 4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Langkah 4.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

Langkah 4.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Langkah 4.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x^{2}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Langkah 4.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Langkah 4.2.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = - x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Langkah 4.3

Sederhanakan $2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$y^{2} = - x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Langkah 4.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Langkah 4.5

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Langkah 4.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Langkah 4.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Langkah 4.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Langkah 5

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$