Kalkulus Contoh

$\frac{d v}{d t} + 2 v = t$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (t) d t}$ , di mana $P (t) = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int 2 d t}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{2 t + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{2 t}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{2 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d v}{d t} + e^{2 t} (2 v) = e^{2 t} t$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{2 t} \frac{d v}{d t} + 2 e^{2 t} v = e^{2 t} t$

Langkah 2.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{2 t} \frac{d v}{d t} + 2 e^{2 t} v = e^{2 t} t$ .

$e^{2 t} \frac{d v}{d t} + 2 v e^{2 t} = t e^{2 t}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} v] = t e^{2 t}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} v] d t = \int t e^{2 t} d t$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{2 t} v = \int t e^{2 t} d t$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = t$ dan $d v = e^{2 t}$ .

$e^{2 t} v = t (\frac{1}{2} e^{2 t}) - \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} v = t \frac{e^{2 t}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t$

Langkah 6.2.2

Gabungkan $t$ dan $\frac{e^{2 t}}{2}$ .

$e^{2 t} v = \frac{t e^{2 t}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t$

Langkah 6.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{2 t} v = \frac{t e^{2 t}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 t} d t)$

Langkah 6.4

Biarkan $u = 2 t$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Biarkan $u = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 6.4.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 6.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 6.4.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 6.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{2 t} v = \frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 6.5

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 t} v = \frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Langkah 6.6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{2 t} v = \frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Langkah 6.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 t} v = \frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Langkah 6.7.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$e^{2 t} v = \frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Langkah 6.8

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{2 t} v = \frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Langkah 6.9

Tulis kembali $\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ sebagai $\frac{1}{2} t e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$e^{2 t} v = \frac{1}{2} t e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Langkah 6.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 t$ .

$e^{2 t} v = \frac{1}{2} t e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{2 t} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{2 t} v = \frac{1}{2} t e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{2 t} + C$ dengan $e^{2 t}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{2 t} v = \frac{1}{2} t e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{2 t} + C$ dengan $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} v}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} t e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{2 t} v}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} t e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} t e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$v = \frac{\frac{1}{2} t e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 7.3.1.1.2

Bagilah $\frac{1}{2} t$ dengan $1$ .

$v = \frac{1}{2} t + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 7.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$v = \frac{1}{2} t + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 7.3.1.2.2

Bagilah $- \frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$v = \frac{1}{2} t - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 7.3.2

Kurangi $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{2} t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Susun kembali $\frac{1}{2}$ dan $t$ .

$v = t \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 7.3.2.2

Untuk menuliskan $t \frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$v = t \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 7.3.2.3

Gabungkan $t \frac{1}{2}$ dan $\frac{4}{4}$ .

$v = \frac{t \frac{1}{2} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 7.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$v = \frac{t \frac{1}{2} \cdot 4 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 7.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.1

Gabungkan $t$ dan $\frac{1}{2}$ .

$v = \frac{\frac{t}{2} \cdot 4 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 7.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$v = \frac{\frac{t}{2} \cdot (2 (2)) - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 7.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$v = \frac{\frac{t}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 7.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$v = \frac{t \cdot 2 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 7.3.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $t$ .

$v = \frac{2 t - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 7.3.4

Untuk menuliskan $\frac{2 t - 1}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}}$ .

$v = \frac{2 t - 1}{4} \cdot \frac{e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 7.3.5

Untuk menuliskan $\frac{C}{e^{2 t}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$v = \frac{2 t - 1}{4} \cdot \frac{e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 7.3.6

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4 e^{2 t}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.6.1

Kalikan $\frac{2 t - 1}{4}$ dengan $\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}}$ .

$v = \frac{(2 t - 1) e^{2 t}}{4 e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 7.3.6.2

Kalikan $\frac{C}{e^{2 t}}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$v = \frac{(2 t - 1) e^{2 t}}{4 e^{2 t}} + \frac{C \cdot 4}{e^{2 t} \cdot 4}$

Langkah 7.3.6.3

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{2 t} \cdot 4$ .

$v = \frac{(2 t - 1) e^{2 t}}{4 e^{2 t}} + \frac{C \cdot 4}{4 e^{2 t}}$

Langkah 7.3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$v = \frac{(2 t - 1) e^{2 t} + C \cdot 4}{4 e^{2 t}}$

Langkah 7.3.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.8.1

Terapkan sifat distributif.

$v = \frac{2 t e^{2 t} - 1 e^{2 t} + C \cdot 4}{4 e^{2 t}}$

Langkah 7.3.8.2

Tulis kembali $- 1 e^{2 t}$ sebagai $- e^{2 t}$ .

$v = \frac{2 t e^{2 t} - e^{2 t} + C \cdot 4}{4 e^{2 t}}$

Langkah 7.3.8.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $C$ .

$v = \frac{2 t e^{2 t} - e^{2 t} + 4 C}{4 e^{2 t}}$