Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = \frac{1}{3} (1 + 3 x) y^{4}$

Langkah 1

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, biarkan $v = y^{1 - n}$ di mana $n$ adalah eksponen dari $y^{4}$ .

$v = y^{- 3}$

Langkah 2

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

Langkah 3

Ambil turunan dari $y$ terhadap $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

Langkah 4

Ambil turunan dari $v^{- \frac{1}{3}}$ terhadap $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ambil turunan dari $v^{- \frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

Langkah 4.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1$ dan $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Langkah 4.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Langkah 4.4.2

Kalikan eksponen dalam ${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Langkah 4.4.2.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.4.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.4.1

Kalikan $v^{\frac{1}{3}}$ dengan $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.4.4.2

Kurangi $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ dengan $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.4.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ dan $g (x) = v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.9.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.11

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $v^{- \frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.12

Pindahkan $v^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.13

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [v]$ sebagai $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.14

Gabungkan $\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ dan $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.15

Tulis kembali $\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ sebagai hasil kali.

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

Langkah 4.16

Kalikan $\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ dengan $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4.17

Kalikan $v^{\frac{2}{3}}$ dengan $v^{\frac{2}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.1

Pindahkan $v^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

Langkah 4.17.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Langkah 4.17.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Langkah 4.17.4

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 5

Substitusikan $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ dengan $\frac{d y}{d x}$ dan $v^{- \frac{1}{3}}$ dengan $y$ dalam persamaan asli $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = \frac{1}{3} (1 + 3 x) y^{4}$ .

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Kalikan setiap suku pada $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ dengan $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ dengan $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 v^{\frac{4}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.2.1.1.2

Faktorkan $3 v^{\frac{4}{3}}$ dari $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.2.1.3

Kalikan $\frac{d v}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.2.1.4

Kalikan $v^{- \frac{1}{3}}$ dengan $v^{\frac{4}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1.4.1

Pindahkan $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.2.1.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.2.1.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.2.1.4.4

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.2.1.4.5

Bagilah $3$ dengan $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.2.1.5

Sederhanakan $\frac{1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.2.1.6

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.2.1.7

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1.7.1

Faktorkan $3$ dari $- 1 \cdot (3)$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.2.1.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.2.1.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} + v \cdot - 1 = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.2.1.8

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $v$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot v = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.2.1.9

Tulis kembali $- 1 v$ sebagai $- v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (3 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.3.2

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (3 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.1

Faktorkan $3$ dari $3 x$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (3 (x))) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (3 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 6.1.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.4.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d v}{d x} - v = - 1 \cdot 3 (\frac{1}{3} + x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Langkah 6.1.1.3.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 (\frac{1}{3} + x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Langkah 6.1.1.3.5

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 (\frac{1}{3}) - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Langkah 6.1.1.3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.6.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (3 (- 1) \frac{1}{3} - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Langkah 6.1.1.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} - v = (3 \cdot - 1 \frac{1}{3} - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Langkah 6.1.1.3.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Langkah 6.1.1.3.7

Kalikan eksponen dalam ${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.7.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

Langkah 6.1.1.3.7.2

Kalikan $- \frac{1}{3} \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.7.2.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

Langkah 6.1.1.3.7.2.2

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Langkah 6.1.1.3.7.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Langkah 6.1.1.3.8

Kalikan $v^{- \frac{4}{3}}$ dengan $v^{\frac{4}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.8.1

Pindahkan $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

Langkah 6.1.1.3.8.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

Langkah 6.1.1.3.8.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{4 - 4}{3}}$

Langkah 6.1.1.3.8.4

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{0}{3}}$

Langkah 6.1.1.3.8.5

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{0}$

Langkah 6.1.1.3.9

Sederhanakan $(- 1 - 3 x) v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - 1 - 3 x$

Langkah 6.1.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 x - 1$

Langkah 6.2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 1 d x}$

Langkah 6.2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- x + C}$

Langkah 6.2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- x}$

Langkah 6.3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} (- 3 x) + e^{- x} \cdot - 1$

Langkah 6.3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} (- 3 x) + e^{- x} \cdot - 1$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$

Langkah 6.3.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - 1 \cdot e^{- x}$

Langkah 6.3.3.3

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - e^{- x}$

Langkah 6.3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = - 3 x e^{- x} - e^{- x}$

Langkah 6.4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = - 3 x e^{- x} - e^{- x}$

Langkah 6.5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int - 3 x e^{- x} - e^{- x} d x$

Langkah 6.6

Integralkan sisi kiri.

$e^{- x} v = \int - 3 x e^{- x} - e^{- x} d x$

Langkah 6.7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$e^{- x} v = \int - 3 x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

Langkah 6.7.2

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 3$ keluar dari integral.

$e^{- x} v = - 3 \int x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

Langkah 6.7.3

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Langkah 6.7.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Langkah 6.7.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Langkah 6.7.5.2

Kalikan $\int e^{- x} d x$ dengan $1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Langkah 6.7.6

Biarkan $u_{1} = - x$ . Kemudian $d u_{1} = - d x$ sehingga $- d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.6.1

Biarkan $u_{1} = - x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.6.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 6.7.6.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.7.6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 6.7.6.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 6.7.6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Langkah 6.7.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Langkah 6.7.8

Integral dari $e^{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int - e^{- x} d x$

Langkah 6.7.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int e^{- x} d x$

Langkah 6.7.10

Biarkan $u_{2} = - x$ . Kemudian $d u_{2} = - d x$ sehingga $- d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.10.1

Biarkan $u_{2} = - x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.10.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 6.7.10.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.7.10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 6.7.10.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 6.7.10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 6.7.11

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 6.7.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.12.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 6.7.12.2

Kalikan $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ dengan $1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 6.7.13

Integral dari $e^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $e^{u_{2}}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + e^{u_{2}} + C$

Langkah 6.7.14

Sederhanakan.

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{u_{1}}) + e^{u_{2}} + C$

Langkah 6.7.15

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.15.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- x$ .

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{u_{2}} + C$

Langkah 6.7.15.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- x$ .

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$

Langkah 6.8

Bagi setiap suku pada $e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$ dengan $e^{- x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1

Bagilah setiap suku di $e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$ dengan $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 6.8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 6.8.2.1.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 6.8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Langkah 6.8.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x}) - 3 (- e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Langkah 6.8.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$v = \frac{3 (x e^{- x}) - 3 (- e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Langkah 6.8.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$v = \frac{3 x e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Langkah 6.8.3.3

Tambahkan $3 e^{- x}$ dan $e^{- x}$ .

$v = \frac{3 x e^{- x} + 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Langkah 7

Substitusikan $y^{- 3}$ untuk $v$ .

$y^{- 3} = \frac{3 x e^{- x} + 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$