Kalkulus Contoh

$(x + 3 x^{3} \sin (y)) d x + (x^{4} \cos (y)) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x + 3 x^{3} \sin (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 3 x^{3} \sin (y)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 3 x^{3} \sin (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$

Langkah 1.2.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $3 x^{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 x^{3} \sin (y)$ terhadap $y$ adalah $3 x^{3} \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x^{3} \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Langkah 1.3.2

Turunan dari $\sin (y)$ terhadap $y$ adalah $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x^{3} \cos (y)$

Langkah 1.4

Tambahkan $0$ dan $3 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{3} \cos (y)$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x^{4} \cos (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} \cos (y)]$

Langkah 2.2

Karena $\cos (y)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{4} \cos (y)$ terhadap $x$ adalah $\cos (y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) (4 x^{3})$

Langkah 2.4

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $\cos (y)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 \cdot \cos (y) x^{3}$

Langkah 2.4.2

Susun kembali faktor-faktor dari $4 \cos (y) x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} \cos (y)$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $3 x^{3} \cos (y)$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $4 x^{3} \cos (y)$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{3} \cos (y) = 4 x^{3} \cos (y)$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$3 x^{3} \cos (y) = 4 x^{3} \cos (y)$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $3 x^{3} \cos (y)$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $4 x^{3} \cos (y)$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - (4 x^{3} \cos (y))}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $x^{4} \cos (y)$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $x^{4} \cos (y)$ untuk $N$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - (4 x^{3} \cos (y))}{x^{4} \cos (y)}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $x^{3} \cos (y)$ dari $3 x^{3} \cos (y) - 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Faktorkan $x^{3} \cos (y)$ dari $3 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3) - 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)}{x^{4} \cos (y)}$

Langkah 4.3.2.1.2

Faktorkan $x^{3} \cos (y)$ dari $- 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3) + x^{3} \cos (y) (- 1 \cdot 4)}{x^{4} \cos (y)}$

Langkah 4.3.2.1.3

Faktorkan $x^{3} \cos (y)$ dari $x^{3} \cos (y) (3) + x^{3} \cos (y) (- 1 \cdot 4)$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3 - 1 \cdot 4)}{x^{4} \cos (y)}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3 - 4)}{x^{4} \cos (y)}$

Langkah 4.3.2.3

Kurangi $4$ dengan $3$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) \cdot - 1}{x^{4} \cos (y)}$

Langkah 4.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{3}$ dan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Faktorkan $x^{3}$ dari $x^{3} \cos (y) \cdot - 1$ .

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{4} \cos (y)}$

Langkah 4.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.1

Faktorkan $x^{3}$ dari $x^{4} \cos (y)$ .

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{3} (x \cos (y))}$

Langkah 4.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{3} (x \cos (y))}$

Langkah 4.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\cos (y) \cdot - 1}{x \cos (y)}$

Langkah 4.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\cos (y) \cdot - 1}{x \cos (y)}$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{x}$

Langkah 4.3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{x}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 5.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Langkah 5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan $- \ln (| x |)$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Langkah 5.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Langkah 5.4.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(x + 3 x^{3} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $x + 3 x^{3} \sin (y)$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$(x + 3 x^{3} \sin (y)) \frac{1}{x} d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$(x \frac{1}{x} + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Langkah 6.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(x \frac{1}{x} + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Langkah 6.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(1 + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Langkah 6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan $x$ dari $3 x^{3} \sin (y)$ .

$(1 + x (3 x^{2} \sin (y)) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Langkah 6.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$(1 + x (3 x^{2} \sin (y)) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Langkah 6.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $x^{4} \cos (y)$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) \frac{1}{x} d y = 0$

Langkah 6.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4} \cos (y)$ .

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x (x^{3} \cos (y)) \frac{1}{x} d y = 0$

Langkah 6.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x (x^{3} \cos (y)) \frac{1}{x} d y = 0$

Langkah 6.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{3} \cos (y) d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} \cos (y) d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = x^{3} \cos (y)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $x^{3}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $x^{3}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x^{3} \int \cos (y) d y$

Langkah 8.2

Integral dari $\cos (y)$ terhadap $y$ adalah $\sin (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} (\sin (y) + C)$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y) + g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} \sin (y) + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $\sin (y)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{3} \sin (y)$ terhadap $x$ adalah $\sin (y) \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\sin (y) (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Langkah 11.3.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\sin (y)$ .

$3 \sin (y) x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$3 \sin (y) x^{2} + \frac{d g}{d x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Langkah 11.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} \sin (y) = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $3 x^{2} \sin (y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y) - 3 x^{2} \sin (y)$

Langkah 12.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $1 + 3 x^{2} \sin (y) - 3 x^{2} \sin (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Kurangi $3 x^{2} \sin (y)$ dengan $3 x^{2} \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + 0$

Langkah 12.1.2.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1$

Langkah 13

Temukan $1$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Langkah 13.3

Terapkan aturan konstanta.

$g (x) = x + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x^{3} \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + x + C$