Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{{(6 + x)}^{2}}$ , $y (0) = 6$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $7$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = 6 + x$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = 6 + x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $6 + x$ .

$\frac{d}{d x} [6 + x]$

Langkah 2.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2.1.3

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 2.3.2.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Langkah 2.3.3

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Pindahkan $u^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$y + C_{1} = 7 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Langkah 2.3.3.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 7 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Langkah 2.3.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y + C_{1} = 7 \int u^{- 2} d u$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- 2}$ terhadap $u$ adalah $- u^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 7 (- u^{- 1} + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Tulis kembali $7 (- u^{- 1} + C_{2})$ sebagai $7 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $7$ .

$y + C_{1} = - 7 \frac{1}{u} + C_{2}$

Langkah 2.3.5.2.2

Gabungkan $- 7$ dan $\frac{1}{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 7}{u} + C_{2}$

Langkah 2.3.5.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + C_{1} = - \frac{7}{u} + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $6 + x$ .

$y + C_{1} = - \frac{7}{6 + x} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $6$ untuk $y$ padda $y = - \frac{7}{6 + x} + K$ .

$6 = - \frac{7}{6 + 0} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \frac{7}{6 + 0} + K = 6$ .

$- \frac{7}{6 + 0} + K = 6$

Langkah 4.2

Tambahkan $6$ dan $0$ .

$- \frac{7}{6} + K = 6$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan $\frac{7}{6}$ ke kedua sisi persamaan.

$K = 6 + \frac{7}{6}$

Langkah 4.3.2

Untuk menuliskan $6$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$K = 6 \cdot \frac{6}{6} + \frac{7}{6}$

Langkah 4.3.3

Gabungkan $6$ dan $\frac{6}{6}$ .

$K = \frac{6 \cdot 6}{6} + \frac{7}{6}$

Langkah 4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$K = \frac{6 \cdot 6 + 7}{6}$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$K = \frac{36 + 7}{6}$

Langkah 4.3.5.2

Tambahkan $36$ dan $7$ .

$K = \frac{43}{6}$

Langkah 5

Substitusikan $\frac{43}{6}$ untuk $K$ dalam $y = - \frac{7}{6 + x} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $\frac{43}{6}$ untuk $K$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} + \frac{43}{6}$

Langkah 5.2

Untuk menuliskan $- \frac{7}{6 + x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{43}{6}$

Langkah 5.3

Untuk menuliskan $\frac{43}{6}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6 + x}{6 + x}$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{43}{6} \cdot \frac{6 + x}{6 + x}$

Langkah 5.4

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(6 + x) \cdot 6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kalikan $\frac{7}{6 + x}$ dengan $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{7 \cdot 6}{(6 + x) \cdot 6} + \frac{43}{6} \cdot \frac{6 + x}{6 + x}$

Langkah 5.4.2

Kalikan $\frac{43}{6}$ dengan $\frac{6 + x}{6 + x}$ .

$y = - \frac{7 \cdot 6}{(6 + x) \cdot 6} + \frac{43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Langkah 5.4.3

Susun kembali faktor-faktor dari $(6 + x) \cdot 6$ .

$y = - \frac{7 \cdot 6}{6 (6 + x)} + \frac{43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Langkah 5.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{- 7 \cdot 6 + 43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Langkah 5.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Kalikan $- 7$ dengan $6$ .

$y = \frac{- 42 + 43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Langkah 5.6.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- 42 + 43 \cdot 6 + 43 x}{6 (6 + x)}$

Langkah 5.6.3

Kalikan $43$ dengan $6$ .

$y = \frac{- 42 + 258 + 43 x}{6 (6 + x)}$

Langkah 5.6.4

Tambahkan $- 42$ dan $258$ .

$y = \frac{216 + 43 x}{6 (6 + x)}$