Kalkulus Contoh

$2 w t \frac{d t}{d w} = t^{2} - 2 w^{3}$

Langkah 1

Biarkan $v = t^{2}$ . Masukkan $v$ untuk semua kejadian $t^{2}$ .

$2 w t \frac{d t}{d w} = v - 2 w^{3}$

Langkah 2

Tentukan $\frac{d v}{d w}$ dengan mendiferensiasikan $t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ adalah $f' (g (w)) g' (w)$ di mana $f (w) = w^{2}$ dan $g (w) = t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $t$ .

$\frac{d v}{d w} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d w} [t]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 u \frac{d}{d w} [t]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $t$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 t \frac{d}{d w} [t]$

Langkah 2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d w} [t]$ sebagai $t'$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 t t'$

Langkah 3

Substitusikan kembali turunan ke persamaan diferensial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $2 t$ dari $2 w t$ .

$2 t (w) \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 t w \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

Langkah 3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$w \frac{d v}{d w} = v - 2 w^{3}$

Langkah 4

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d v}{d w} + M (w) v = Q (w)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kurangkan $v$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$

Langkah 4.2

Bagilah setiap suku di $w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$ dengan $w$ .

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Langkah 4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $w$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Langkah 4.3.2

Bagilah $\frac{d v}{d w}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Langkah 4.4

Hapus faktor persekutuan dari $w^{3}$ dan $w$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Faktorkan $w$ dari $- 2 w^{3}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w}$

Langkah 4.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Naikkan $w$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w^{1}}$

Langkah 4.4.2.2

Faktorkan $w$ dari $w^{1}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

Langkah 4.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

Langkah 4.4.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{2}}{1}$

Langkah 4.4.2.5

Bagilah $- 2 w^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = - 2 w^{2}$

Langkah 4.5

Faktorkan $v$ dari $\frac{- v}{w}$ .

$\frac{d v}{d w} + v \frac{- 1}{w} = - 2 w^{2}$

Langkah 4.6

Susun kembali $v$ dan $\frac{- 1}{w}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- 1}{w} v = - 2 w^{2}$

Langkah 5

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (w) d w}$ , di mana $P (w) = \frac{- 1}{w}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{- 1}{w} d w}$

Langkah 5.2

Integralkan $\frac{- 1}{w}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$e^{\int - \frac{1}{w} d w}$

Langkah 5.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $w$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{1}{w} d w}$

Langkah 5.2.3

Integral dari $\frac{1}{w}$ terhadap $w$ adalah $\ln (| w |)$ .

$e^{- (\ln (| w |) + C)}$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan.

$e^{- \ln (| w |) + C}$

Langkah 5.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- \ln (w)}$

Langkah 5.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (w^{- 1})}$

Langkah 5.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$w^{- 1}$

Langkah 5.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{w}$

Langkah 6

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{w}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{w} \frac{d v}{d w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Langkah 6.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gabungkan $\frac{1}{w}$ dan $\frac{d v}{d w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Langkah 6.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (- \frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Langkah 6.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} (\frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Langkah 6.2.4

Gabungkan $\frac{1}{w}$ dan $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Langkah 6.2.5

Kalikan $- \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.5.1

Kalikan $\frac{v}{w}$ dengan $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w \cdot w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Langkah 6.2.5.2

Naikkan $w$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Langkah 6.2.5.3

Naikkan $w$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w^{1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Langkah 6.2.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1 + 1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Langkah 6.2.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Langkah 6.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 \frac{1}{w} w^{2}$

Langkah 6.4

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} w^{2}$

Langkah 6.5

Batalkan faktor persekutuan dari $w$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Faktorkan $w$ dari $w^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

Langkah 6.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

Langkah 6.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 w$

Langkah 7

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] = - 2 w$

Langkah 8

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] d w = \int - 2 w d w$

Langkah 9

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{w} v = \int - 2 w d w$

Langkah 10

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $w$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{w} v = - 2 \int w d w$

Langkah 10.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $w$ terhadap $w$ adalah $\frac{1}{2} w^{2}$ .

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$

Langkah 10.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Tulis kembali $- 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$ sebagai $- 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$ .

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$

Langkah 10.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{- 2}{2} w^{2} + C$

Langkah 10.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} w^{2} + C$

Langkah 10.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} w^{2} + C$

Langkah 10.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} w^{2} + C$

Langkah 10.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{w} v = \frac{- 1}{1} w^{2} + C$

Langkah 10.3.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{w} v = - w^{2} + C$

Langkah 11

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gabungkan $\frac{1}{w}$ dan $v$ .

$\frac{v}{w} = - w^{2} + C$

Langkah 11.2

Kalikan kedua ruas dengan $w$ .

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

Langkah 11.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $w$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

Langkah 11.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$v = (- w^{2} + C) w$

Langkah 11.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1

Sederhanakan $(- w^{2} + C) w$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$v = - w^{2} w + C w$

Langkah 11.3.2.1.2

Kalikan $w^{2}$ dengan $w$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1.2.1

Pindahkan $w$ .

$v = - (w \cdot w^{2}) + C w$

Langkah 11.3.2.1.2.2

Kalikan $w$ dengan $w^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1.2.2.1

Naikkan $w$ menjadi pangkat $1$ .

$v = - (w^{1} w^{2}) + C w$

Langkah 11.3.2.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$v = - w^{1 + 2} + C w$

Langkah 11.3.2.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$v = - w^{3} + C w$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $v$ dengan $t^{2}$ .

$t^{2} = - w^{3} + C w$

Langkah 13

Selesaikan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$t = \pm \sqrt{- w^{3} + C w}$

Langkah 13.2

Faktorkan $w$ dari $- w^{3} + C w$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Faktorkan $w$ dari $- w^{3}$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + C w}$

Langkah 13.2.2

Faktorkan $w$ dari $C w$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + w C}$

Langkah 13.2.3

Faktorkan $w$ dari $w (- w^{2}) + w C$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Langkah 13.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Langkah 13.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Langkah 13.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$