Kalkulus Contoh

$x (1 + y^{2}) d x - y (1 + x^{2}) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $x (1 + y^{2}) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y (1 + x^{2}) d y = - x (1 + y^{2}) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- y (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $1 + x^{2}$ dari $y (1 + x^{2})$ .

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Langkah 3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Langkah 3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Langkah 3.3

Gabungkan $\frac{- 1}{1 + y^{2}}$ dan $y$ .

$\frac{- y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Langkah 3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Langkah 3.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Langkah 3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ ke dalam pembilangnya.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Langkah 3.6.2

Faktorkan $1 + y^{2}$ dari $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Langkah 3.6.3

Faktorkan $1 + y^{2}$ dari $x (1 + y^{2})$ .

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Langkah 3.6.4

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Langkah 3.6.5

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} x d x$

Langkah 3.7

Gabungkan $\frac{- 1}{1 + x^{2}}$ dan $x$ .

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.2.2

Biarkan $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Kemudian $d u_{1} = 2 y d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Biarkan $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Diferensialkan $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Langkah 4.2.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 4.2.2.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 4.2.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Langkah 4.2.2.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 y$ .

$2 y$

Langkah 4.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{u_{1}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.2.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.2.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.2.5

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.2.6

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.2.7

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $1 + y^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.3.2

Biarkan $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Biarkan $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Diferensialkan $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 4.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.3.2.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.3.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Langkah 4.3.2.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$2 x$

Langkah 4.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 4.3.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 4.3.5

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Langkah 4.3.6

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 4.3.7

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 + x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Langkah 5.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Gabungkan $\ln (| 1 + y^{2} |)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2}) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 2 \frac{- \ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- - \ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.3.2

Kalikan $\ln (| 1 + y^{2} |)$ dengan $1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Gabungkan $\ln (| 1 + x^{2} |)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C)$

Langkah 5.2.2.1.2

Untuk menuliskan $C$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Langkah 5.2.2.1.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.3.1

Gabungkan $C$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Langkah 5.2.2.1.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Langkah 5.2.2.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Langkah 5.2.2.1.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Langkah 5.2.2.1.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2)$

Langkah 5.2.2.1.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $C$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - (- \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C)$

Langkah 5.2.2.1.5

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - - \ln (| 1 + x^{2} |) - (2 C)$

Langkah 5.2.2.1.6

Kalikan $- - \ln (| 1 + x^{2} |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 1 \ln (| 1 + x^{2} |) - (2 C)$

Langkah 5.2.2.1.6.2

Kalikan $\ln (| 1 + x^{2} |)$ dengan $1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) - (2 C)$

Langkah 5.2.2.1.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) - 2 C$

Langkah 5.3

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln (| 1 + x^{2} |) = - 2 C$

Langkah 5.4

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}) = - 2 C$

Langkah 5.5

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |})} = e^{- 2 C}$

Langkah 5.6

Tulis kembali $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}) = - 2 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}$

Langkah 5.7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} = e^{- 2 C}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} = e^{- 2 C}$

Langkah 5.7.2

Kalikan kedua ruas dengan $| 1 + x^{2} |$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{- 2 C} | 1 + x^{2} |$

Langkah 5.7.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| 1 + x^{2} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{- 2 C} | 1 + x^{2} |$

Langkah 5.7.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| 1 + y^{2} | = e^{- 2 C} | 1 + x^{2} |$

Langkah 5.7.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- 2 C} | 1 + x^{2} |$ .

$| 1 + y^{2} | = | 1 + x^{2} | e^{- 2 C}$

Langkah 5.7.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm | 1 + x^{2} | e^{- 2 C}$

Langkah 5.7.4.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm | 1 + x^{2} | e^{- 2 C}$ .

$1 + y^{2} = \pm e^{- 2 C} | 1 + x^{2} |$

Langkah 5.7.4.4

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} = \pm e^{- 2 C} | 1 + x^{2} | - 1$

Langkah 5.7.4.5

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- 2 C} | 1 + x^{2} | - 1}$

Langkah 6

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm \sqrt{\pm C | 1 + x^{2} | - 1}$

Langkah 6.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = \pm \sqrt{C | 1 + x^{2} | - 1}$