Kalkulus Contoh

$6 x + \frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x} = 12 x^{2}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$6 x + \frac{\frac{d y}{d x}}{y} = 12 x^{2}$

Langkah 1.1.2

Kurangkan $6 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{y} = 12 x^{2} - 6 x$

Langkah 1.1.3

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{y} y = (12 x^{2} - 6 x) y$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{y} y = (12 x^{2} - 6 x) y$

Langkah 1.1.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = (12 x^{2} - 6 x) y$

Langkah 1.1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d y}{d x} = 12 x^{2} y - 6 x y$

Langkah 1.2

Faktorkan $6 x y$ dari $12 x^{2} y - 6 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $6 x y$ dari $12 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x y (2 x) - 6 x y$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $6 x y$ dari $- 6 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x y (2 x) + 6 x y (- 1)$

Langkah 1.2.3

Faktorkan $6 x y$ dari $6 x y (2 x) + 6 x y (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x y (2 x - 1)$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (6 x y (2 x - 1))$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y} (x y (2 x - 1))$

Langkah 1.4.2

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (x y (2 x - 1))$

Langkah 1.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Faktorkan $y$ dari $x y (2 x - 1)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y (x (2 x - 1)))$

Langkah 1.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y (x (2 x - 1)))$

Langkah 1.4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (x (2 x - 1))$

Langkah 1.4.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (x (2 x) + x \cdot - 1)$

Langkah 1.4.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x \cdot x + x \cdot - 1)$

Langkah 1.4.6

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x \cdot x - 1 \cdot x)$

Langkah 1.4.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.7.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.7.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x)$

Langkah 1.4.7.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x^{2} - 1 \cdot x)$

Langkah 1.4.7.2

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x^{2} - x)$

Langkah 1.4.8

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x^{2}) + 6 (- x)$

Langkah 1.4.9

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 12 x^{2} + 6 (- x)$

Langkah 1.4.10

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 12 x^{2} - 6 x$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = (12 x^{2} - 6 x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 12 x^{2} - 6 x d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 12 x^{2} - 6 x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 12 x^{2} d x + \int - 6 x d x$

Langkah 2.3.2

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $12$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 \int x^{2} d x + \int - 6 x d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 6 x d x$

Langkah 2.3.4

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 6$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 6 \int x d x$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3}) x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.1

Gabungkan $12$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{12}{3} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $12$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{1} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.3

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{- 6}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{- 3}{1} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.4.2.4

Bagilah $- 3$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} - 3 x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = 4 x^{3} - 3 x^{2} + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = 4 x^{3} - 3 x^{2} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C} = | y |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$

Langkah 3.3.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$ sebagai $e^{4 x^{3} - 3 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{4 x^{3} - 3 x^{2}} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{4 x^{3} - 3 x^{2}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{4 x^{3} - 3 x^{2}}$