Kalkulus Contoh

$(5 - x) d y + (y + 3) d x = 0$

Langkah 1

Kurangkan $(y + 3) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(5 - x) d y = - (y + 3) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(5 - x) (y + 3)}$ .

$\frac{1}{(5 - x) (y + 3)} (5 - x) d y = \frac{1}{(5 - x) (y + 3)} (- (y + 3)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(5 - x) (y + 3)} (5 - x) d y = \frac{1}{(5 - x) (y + 3)} (- (y + 3)) d x$

Langkah 3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y + 3} d y = \frac{1}{(5 - x) (y + 3)} (- (y + 3)) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y + 3} d y = - \frac{1}{(5 - x) (y + 3)} (y + 3) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{(5 - x) (y + 3)}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{y + 3} d y = \frac{- 1}{(5 - x) (y + 3)} (y + 3) d x$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y + 3$ dari $(5 - x) (y + 3)$ .

$\frac{1}{y + 3} d y = \frac{- 1}{(y + 3) (5 - x)} (y + 3) d x$

Langkah 3.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y + 3} d y = \frac{- 1}{(y + 3) (5 - x)} (y + 3) d x$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y + 3} d y = \frac{- 1}{5 - x} d x$

Langkah 3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{y + 3} d y = - \frac{1}{5 - x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int - \frac{1}{5 - x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Biarkan $u_{1} = y + 3$ . Kemudian $d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Biarkan $u_{1} = y + 3$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Diferensialkan $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Langkah 4.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 3$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 4.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 4.2.1.1.4

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{5 - x} d x$

Langkah 4.2.2

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{5 - x} d x$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y + 3$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{5 - x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{5 - x} d x$

Langkah 4.3.2

Biarkan $u_{2} = 5 - x$ . Kemudian $d u_{2} = - d x$ sehingga $- d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Biarkan $u_{2} = 5 - x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 4.3.2.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 4.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.5.2

Kalikan $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ dengan $1$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.6

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 4.3.7

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $5 - x$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \ln (| 5 - x |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y + 3 |) = \ln (| 5 - x |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y + 3 |) - \ln (| 5 - x |) = C$

Langkah 5.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 3 |}{| 5 - x |}) = C$

Langkah 5.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y + 3 |}{| 5 - x |})} = e^{C}$

Langkah 5.4

Tulis kembali $\ln (\frac{| y + 3 |}{| 5 - x |}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y + 3 |}{| 5 - x |}$

Langkah 5.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y + 3 |}{| 5 - x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y + 3 |}{| 5 - x |} = e^{C}$

Langkah 5.5.2

Kalikan kedua ruas dengan $| 5 - x |$ .

$\frac{| y + 3 |}{| 5 - x |} | 5 - x | = e^{C} | 5 - x |$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| 5 - x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y + 3 |}{| 5 - x |} | 5 - x | = e^{C} | 5 - x |$

Langkah 5.5.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y + 3 | = e^{C} | 5 - x |$

Langkah 5.5.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{C} | 5 - x |$ .

$| y + 3 | = | 5 - x | e^{C}$

Langkah 5.5.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y + 3 = \pm | 5 - x | e^{C}$

Langkah 5.5.4.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm | 5 - x | e^{C}$ .

$y + 3 = \pm e^{C} | 5 - x |$

Langkah 5.5.4.4

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = \pm e^{C} | 5 - x | - 3$

Langkah 6

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm C | 5 - x | - 3$

Langkah 6.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C | 5 - x | - 3$