Kalkulus Contoh

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 0$

Langkah 1

Periksa apakah sisi kiri persamaan merupakan turunan dari suku $(1 + e^{x}) y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 1 + e^{x}$ dan $g (x) = y$ .

$(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$(1 + e^{x}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Langkah 1.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + e^{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Langkah 1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Langkah 1.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + e^{x})$

Langkah 1.6

Tambahkan $0$ dan $e^{x}$ .

$(1 + e^{x}) y' + y e^{x}$

Langkah 1.7

Substitusikan $\frac{d y}{d x}$ untuk $y'$ .

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + y e^{x}$

Langkah 2

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] = 0$

Langkah 3

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] d x = \int 0 d x$

Langkah 4

Integralkan sisi kiri.

$(1 + e^{x}) y = \int 0 d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Integral dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(1 + e^{x}) y = 0 + C$

Langkah 5.2

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$(1 + e^{x}) y = C$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $(1 + e^{x}) y = C$ dengan $1 + e^{x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $(1 + e^{x}) y = C$ dengan $1 + e^{x}$ .

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{C}{1 + e^{x}}$