Kalkulus Contoh

$x \sqrt{x^{2} + 1} - y e^{y} \frac{d y}{d x} = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $x \sqrt{x^{2} + 1} - y e^{y} \frac{d y}{d x}$ .

$x \sqrt{x^{2} + 1} - y \frac{d y}{d x} e^{y} = 0$

Langkah 1.1.2

Kurangkan $x \sqrt{x^{2} + 1}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y \frac{d y}{d x} e^{y} = - x \sqrt{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.3

Bagi setiap suku pada $- y \frac{d y}{d x} e^{y} = - x \sqrt{x^{2} + 1}$ dengan $- y e^{y}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Bagilah setiap suku di $- y \frac{d y}{d x} e^{y} = - x \sqrt{x^{2} + 1}$ dengan $- y e^{y}$ .

$\frac{- y \frac{d y}{d x} e^{y}}{- y e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Langkah 1.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y \frac{d y}{d x} e^{y}}{y e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Langkah 1.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \frac{d y}{d x} e^{y}}{y e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Langkah 1.1.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{y}}{e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Langkah 1.1.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{y}}{e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Langkah 1.1.3.2.3.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{y e^{y}}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $y e^{y}$ .

$y e^{y} \frac{d y}{d x} = y e^{y} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{y e^{y}}$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y e^{y} \frac{d y}{d x} = y e^{y} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{y e^{y}}$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y e^{y} \frac{d y}{d x} = x \sqrt{x^{2} + 1}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y e^{y} d y = x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y e^{y} d y = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = y$ dan $d v = e^{y}$ .

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $e^{y}$ terhadap $y$ adalah $e^{y}$ .

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.2.4

Susun kembali suku-suku.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 2.3.1.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Langkah 2.3.4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Tulis kembali $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ sebagai $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 1$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$e^{y} y - e^{y} = \frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$