Kalkulus Contoh

$(e^{x} + 1) d x + \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $(e^{x} + 1) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = - (e^{x} + 1) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int (y^{2} - 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y^{2} - 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int (y^{2} - 1) y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Langkah 2.2.2

Kalikan $(y^{2} - 1) y^{- 2}$ .

$\int y^{2} y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Kalikan $y^{2}$ dengan $y^{- 2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int y^{2 - 2} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Langkah 2.2.3.1.2

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$\int y^{0} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Langkah 2.2.3.2

Sederhanakan $y^{0}$ .

$\int 1 - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Langkah 2.2.3.3

Tulis kembali $- 1 y^{- 2}$ sebagai $- y^{- 2}$ .

$\int 1 - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Langkah 2.2.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d y + \int - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Langkah 2.2.5

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Langkah 2.2.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Langkah 2.2.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$y + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int - (e^{x} + 1) d x$

Langkah 2.2.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.8.1

Sederhanakan.

$y - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Langkah 2.2.8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.8.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Langkah 2.2.8.2.2

Kalikan $\frac{1}{y}$ dengan $1$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - \int e^{x} + 1 d x$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (\int e^{x} d x + \int d x)$

Langkah 2.3.3

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + C_{4} + \int d x)$

Langkah 2.3.4

Terapkan aturan konstanta.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + C_{4} + x + C_{5})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + x) + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y + \frac{1}{y} = - (e^{x} + x) + K$