Kalkulus Contoh

$(y - \frac{1}{y}) d x + (x + \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y - \frac{1}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - \frac{1}{y}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - \frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = - 1$ dan $g (y) = \frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{y}$ sebagai $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 1.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Langkah 1.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 1 y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Langkah 1.3.6

Kalikan $y^{- 2}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Langkah 1.3.7

Kalikan $\frac{1}{y}$ dengan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + y^{- 2} + 0$

Langkah 1.3.8

Tambahkan $y^{- 2}$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + y^{- 2}$

Langkah 1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 1.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{y^{2}} + 1$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x + \frac{x}{y^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + \frac{x}{y^{2}}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \frac{x}{y^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{1}{y^{2}}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{y^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{1}{y^{2}} \cdot 1$

Langkah 2.3.3

Kalikan $\frac{1}{y^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} + 1$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $\frac{1}{y^{2}} + 1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $\frac{1}{y^{2}} + 1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{y^{2}} + 1 = \frac{1}{y^{2}} + 1$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$\frac{1}{y^{2}} + 1 = \frac{1}{y^{2}} + 1$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - \frac{1}{y} d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = y - \frac{1}{y}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x + g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $(y - \frac{1}{y}) x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $(y - \frac{1}{y}) x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y - \frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y - \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Langkah 8.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - \frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$ .

$x (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Langkah 8.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (1 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Langkah 8.3.4

$x (1 - \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Langkah 8.3.5

Tulis kembali $\frac{1}{y}$ sebagai $y^{- 1}$ .

$x (1 - \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Langkah 8.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$x (1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Langkah 8.3.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$x (1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Langkah 8.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$x (1 + 1 y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Langkah 8.3.9

Kalikan $y^{- 2}$ dengan $1$ .

$x (1 + y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Langkah 8.3.10

Kalikan $\frac{1}{y}$ dengan $0$ .

$x (1 + y^{- 2} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Langkah 8.3.11

Tambahkan $y^{- 2}$ dan $0$ .

$x (1 + y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x (1 + y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (1 + \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Langkah 8.5.2

Terapkan sifat distributif.

$x \cdot 1 + x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Langkah 8.5.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.3.1

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x + x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Langkah 8.5.3.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x + \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Langkah 8.5.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} - x = \frac{x}{y^{2}}$

Langkah 9.1.2

Kurangkan $\frac{x}{y^{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} - x - \frac{x}{y^{2}} = 0$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} - x - \frac{x}{y^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} + 0 - \frac{x}{y^{2}} = 0$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} - \frac{x}{y^{2}} = 0$

Langkah 9.1.3.3

Kurangi $\frac{x}{y^{2}}$ dengan $\frac{x}{y^{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Langkah 9.1.3.4

Tambahkan $\frac{d g}{d y}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Langkah 10

Temukan $0$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Langkah 10.3

Integral dari $0$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Langkah 10.4

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$g (y) = C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + g (y)$ .

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + C$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = y x - \frac{1}{y} x + C$

Langkah 12.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{x}{y} + C$