Kalkulus Contoh

$x (y^{2} - 4) d x + y d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $x (y^{2} - 4) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y d y = - x (y^{2} - 4) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{2} - 4}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 4} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 2^{2}} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Langkah 3.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = y$ dan $b = 2$ .

$\frac{1}{(y + 2) (y - 2)} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Langkah 3.2

Gabungkan $\frac{1}{(y + 2) (y - 2)}$ dan $y$ .

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = - \frac{1}{y^{2} - 4} (x (y^{2} - 4)) d x$

Langkah 3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2} - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y^{2} - 4}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} (x (y^{2} - 4)) d x$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $y^{2} - 4$ dari $x (y^{2} - 4)$ .

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} ((y^{2} - 4) x) d x$

Langkah 3.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} ((y^{2} - 4) x) d x$

Langkah 3.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = - x d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \int - x d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Biarkan $u = (y + 2) (y - 2)$ . Kemudian $d u = 2 y d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Biarkan $u = (y + 2) (y - 2)$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Diferensialkan $(y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 2) (y - 2)]$

Langkah 4.2.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = y + 2$ dan $g (y) = y - 2$ .

$(y + 2) \frac{d}{d y} [y - 2] + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Langkah 4.2.1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - 2$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$(y + 2) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Langkah 4.2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(y + 2) (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Langkah 4.2.1.1.3.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$(y + 2) (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Langkah 4.2.1.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$(y + 2) \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Langkah 4.2.1.1.3.4.2

Kalikan $y + 2$ dengan $1$ .

$y + 2 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Langkah 4.2.1.1.3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 2$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$y + 2 + (y - 2) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2])$

Langkah 4.2.1.1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y + 2 + (y - 2) (1 + \frac{d}{d y} [2])$

Langkah 4.2.1.1.3.7

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$y + 2 + (y - 2) (1 + 0)$

Langkah 4.2.1.1.3.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.3.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$y + 2 + (y - 2) \cdot 1$

Langkah 4.2.1.1.3.8.2

Kalikan $y - 2$ dengan $1$ .

$y + 2 + y - 2$

Langkah 4.2.1.1.3.8.3

Tambahkan $y$ dan $y$ .

$2 y + 2 - 2$

Langkah 4.2.1.1.3.8.4

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.3.8.4.1

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$2 y + 0$

Langkah 4.2.1.1.3.8.4.2

Tambahkan $2 y$ dan $0$ .

$2 y$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - x d x$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - x d x$

Langkah 4.2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int - x d x$

Langkah 4.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - x d x$

Langkah 4.2.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - x d x$

Langkah 4.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - x d x$

Langkah 4.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $(y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = \int - x d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - \int x d x$

Langkah 4.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Langkah 4.3.3

Tulis kembali $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ sebagai $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 5.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Perluas $(y + 2) (y - 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) + 2 (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 5.2.1.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 5.2.1.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 5.2.1.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Gabungkan suku balikan dalam $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $y \cdot - 2$ dan $2 y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.1.2

Tambahkan $- 2 y$ dan $2 y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.1.3

Tambahkan $y \cdot y$ dan $0$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.2.1

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 4 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| y^{2} - 4 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + C)$

Langkah 5.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 C$

Langkah 5.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x^{2}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 C$

Langkah 5.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 C$

Langkah 5.2.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = - x^{2} + 2 C$

Langkah 5.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y^{2} - 4 |)} = e^{- x^{2} + 2 C}$

Langkah 5.4

Tulis kembali $\ln (| y^{2} - 4 |) = - x^{2} + 2 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} + 2 C} = | y^{2} - 4 |$

Langkah 5.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y^{2} - 4 | = e^{- x^{2} + 2 C}$ .

$| y^{2} - 4 | = e^{- x^{2} + 2 C}$

Langkah 5.5.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y^{2} - 4 = \pm e^{- x^{2} + 2 C}$

Langkah 5.5.3

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$y^{2} = \pm e^{- x^{2} + 2 C} + 4$

Langkah 5.5.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2} + 2 C} + 4}$

Langkah 6

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2} + C} + 4}$

Langkah 6.2

Tulis kembali $e^{- x^{2} + C}$ sebagai $e^{- x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2}} e^{C} + 4}$

Langkah 6.3

Susun kembali $e^{- x^{2}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{- x^{2}} + 4}$

Langkah 6.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = \pm \sqrt{C e^{- x^{2}} + 4}$