Kalkulus Contoh

$(1 + x) \frac{d y}{d x} = 4 y$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $(1 + x) \frac{d y}{d x} = 4 y$ dengan $1 + x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $(1 + x) \frac{d y}{d x} = 4 y$ dengan $1 + x$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d y}{d x}}{1 + x} = \frac{4 y}{1 + x}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(1 + x) \frac{d y}{d x}}{1 + x} = \frac{4 y}{1 + x}$

Langkah 1.1.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + x}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{4 y}{1 + x}$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $y$ dari $4 y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 4}{1 + x}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 4}{1 + x}$

Langkah 1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{1 + x}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = \frac{4}{1 + x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{1 + x} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{1 + x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1 + x} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = 1 + x$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = 1 + x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 2.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 2.3.2.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.3

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

Langkah 2.3.5

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = 4 \ln (| 1 + x |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) - 4 \ln (| 1 + x |) = C$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan $\ln (| y |) - 4 \ln (| 1 + x |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Sederhanakan $- 4 \ln (| 1 + x |)$ dengan memindahkan $4$ ke dalam logaritma.

$\ln (| y |) - \ln ({| 1 + x |}^{4}) = C$

Langkah 3.2.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| 1 + x |}^{4}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (| y |) - \ln ({(1 + x)}^{4}) = C$

Langkah 3.2.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}}) = C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}})} = e^{C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}}$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}} = e^{C}$

Langkah 3.5.2

Kalikan kedua ruas dengan ${(1 + x)}^{4}$ .

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}} {(1 + x)}^{4} = e^{C} {(1 + x)}^{4}$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(1 + x)}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}} {(1 + x)}^{4} = e^{C} {(1 + x)}^{4}$

Langkah 3.5.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y | = e^{C} {(1 + x)}^{4}$

Langkah 3.5.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Sederhanakan $e^{C} {(1 + x)}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.1

Gunakan Teorema Binomial.

$| y | = e^{C} (1^{4} + 4 \cdot 1^{3} x + 6 \cdot 1^{2} x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

Langkah 3.5.4.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| y | = e^{C} (1 + 4 \cdot 1^{3} x + 6 \cdot 1^{2} x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| y | = e^{C} (1 + 4 \cdot 1 x + 6 \cdot 1^{2} x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + 4 x + 6 \cdot 1^{2} x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| y | = e^{C} (1 + 4 x + 6 \cdot 1 x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.5

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + 4 x + 6 x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.6

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + 4 x + 6 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4})$

Langkah 3.5.4.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$| y | = e^{C} \cdot 1 + e^{C} (4 x) + e^{C} (6 x^{2}) + e^{C} (4 x^{3}) + e^{C} x^{4}$

Langkah 3.5.4.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.3.1

Kalikan $e^{C}$ dengan $1$ .

$| y | = e^{C} + e^{C} (4 x) + e^{C} (6 x^{2}) + e^{C} (4 x^{3}) + e^{C} x^{4}$

Langkah 3.5.4.1.3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$| y | = e^{C} + 4 e^{C} x + e^{C} (6 x^{2}) + e^{C} (4 x^{3}) + e^{C} x^{4}$

Langkah 3.5.4.1.3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$| y | = e^{C} + 4 e^{C} x + 6 e^{C} x^{2} + e^{C} (4 x^{3}) + e^{C} x^{4}$

Langkah 3.5.4.1.3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$| y | = e^{C} + 4 e^{C} x + 6 e^{C} x^{2} + 4 e^{C} x^{3} + e^{C} x^{4}$

Langkah 3.5.4.1.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{C} + 4 e^{C} x + 6 e^{C} x^{2} + 4 e^{C} x^{3} + e^{C} x^{4}$ .

$| y | = e^{C} + 4 x e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + x^{4} e^{C}$

Langkah 3.5.4.1.5

Pindahkan $e^{C}$ .

$| y | = 4 x e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + x^{4} e^{C} + e^{C}$

Langkah 3.5.4.1.6

Pindahkan $4 x e^{C}$ .

$| y | = 6 x^{2} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + x^{4} e^{C} + 4 x e^{C} + e^{C}$

Langkah 3.5.4.1.7

Pindahkan $6 x^{2} e^{C}$ .

$| y | = 4 x^{3} e^{C} + x^{4} e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x e^{C} + e^{C}$

Langkah 3.5.4.1.8

Susun kembali $4 x^{3} e^{C}$ dan $x^{4} e^{C}$ .

$| y | = x^{4} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x e^{C} + e^{C}$

Langkah 3.5.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{4} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x e^{C} + e^{C})$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm (x^{4} C + 4 x^{3} C + 6 x^{2} C + 4 x C + C)$