Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{3 y^{2}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{3 y^{2}}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2} \cdot 3}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2} \cdot 3}$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{3}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y^{2} d y = \frac{x - 1}{3} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y^{2} d y = \int \frac{x - 1}{3} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x - 1}{3} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x - 1 d x$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\int x d x + \int - 1 d x)$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 1 d x)$

Langkah 2.3.4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - x + C_{3})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{2} - x) + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} (- x) + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.3

Gabungkan.

$y^{3} = 3 (\frac{1 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{1}{3} (- x) + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.4

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x$ .

$y^{3} = 3 (\frac{1 x^{2}}{3 \cdot 2} - \frac{x}{3} + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.5.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{3 \cdot 2} - \frac{x}{3} + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.5.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 (2)} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 2} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 \frac{- x}{3} + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 \frac{- x}{3} + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} - x + 3 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x + 3 K}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x + 3 K}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Untuk menuliskan $- x$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x \cdot \frac{2}{2} + 3 K}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Gabungkan $- x$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2} + 3 K}$

Langkah 3.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - x \cdot 2}{2} + 3 K}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} - x \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x - x \cdot 2}{2} + 3 K}$

Langkah 3.4.3.1.2

Faktorkan $x$ dari $- x \cdot 2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)}{2} + 3 K}$

Langkah 3.4.3.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 1 \cdot 2)}{2} + 3 K}$

Langkah 3.4.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + 3 K}$

Langkah 3.4.4

Untuk menuliskan $3 K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + 3 K \cdot \frac{2}{2}}$

Langkah 3.4.5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Gabungkan $3 K$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + \frac{3 K \cdot 2}{2}}$

Langkah 3.4.5.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2) + 3 K \cdot 2}{2}}$

Langkah 3.4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 3 K \cdot 2}{2}}$

Langkah 3.4.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 3 K \cdot 2}{2}}$

Langkah 3.4.6.3

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 \cdot x + 3 K \cdot 2}{2}}$

Langkah 3.4.6.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 x + 6 K}{2}}$

Langkah 3.4.7

Tulis kembali $\sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 x + 6 K}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$

Langkah 3.4.8

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Langkah 3.4.9

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.9.1

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Langkah 3.4.9.2

Naikkan $\sqrt[3]{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Langkah 3.4.9.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Langkah 3.4.9.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Langkah 3.4.9.5

Tulis kembali ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.9.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Langkah 3.4.9.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Langkah 3.4.9.5.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 3.4.9.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.9.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 3.4.9.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Langkah 3.4.9.5.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Langkah 3.4.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.10.1

Tulis kembali ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ sebagai $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Langkah 3.4.10.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} \sqrt[3]{4}}{2}$

Langkah 3.4.11

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.11.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{2} - 2 x + 6 K) \cdot 4}}{2}$

Langkah 3.4.11.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\sqrt[3]{(x^{2} - 2 x + 6 K) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x^{2} - 2 x + 6 K)}}{2}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x^{2} - 2 x + K)}}{2}$