Kalkulus Contoh

$(1 + y^{2}) \cdot d x + x y \cdot d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $(1 + y^{2}) \cdot d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y \cdot d y = - (1 + y^{2}) \cdot d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} (x y) \cdot d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) \cdot d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} (x (y)) \cdot d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) \cdot d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} (x y) \cdot d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) \cdot d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{1 + y^{2}} y \cdot d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) \cdot d x$

Langkah 3.2

Gabungkan $\frac{1}{1 + y^{2}}$ dan $y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \cdot d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) \cdot d x$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \cdot d y = - \frac{1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) \cdot d x$

Langkah 3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x (1 + y^{2})}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \cdot d y = \frac{- 1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) \cdot d x$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $1 + y^{2}$ dari $x (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \cdot d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) x} (1 + y^{2}) \cdot d x$

Langkah 3.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \cdot d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) x} (1 + y^{2}) \cdot d x$

Langkah 3.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \cdot d y = \frac{- 1}{x} \cdot d x$

Langkah 3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \cdot d y = - \frac{1}{x} \cdot d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Biarkan $u = 1 + y^{2}$ . Kemudian $d u = 2 y d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Biarkan $u = 1 + y^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Diferensialkan $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Langkah 4.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 4.2.1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 4.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Langkah 4.2.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 y$ .

$2 y$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = - \ln (| x |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

Langkah 5.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \ln (| x |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \ln (| x |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $2 (- \ln (| x |) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \ln (| x |)) + 2 C$

Langkah 5.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 \ln (| x |) + 2 C$

Langkah 5.3

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + 2 \ln (| x |) = 2 C$

Langkah 5.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan $\ln (| 1 + y^{2} |) + 2 \ln (| x |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Langkah 5.4.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (x^{2}) = 2 C$

Langkah 5.4.1.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y^{2} | x^{2}) = 2 C$

Langkah 5.4.1.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (| 1 + y^{2} | x^{2})$ .

$\ln (x^{2} | 1 + y^{2} |) = 2 C$

Langkah 5.5

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x^{2} | 1 + y^{2} |)} = e^{2 C}$

Langkah 5.6

Tulis kembali $\ln (x^{2} | 1 + y^{2} |) = 2 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = x^{2} | 1 + y^{2} |$

Langkah 5.7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x^{2} | 1 + y^{2} | = e^{2 C}$ .

$x^{2} | 1 + y^{2} | = e^{2 C}$

Langkah 5.7.2

Bagi setiap suku pada $x^{2} | 1 + y^{2} | = e^{2 C}$ dengan $x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} | 1 + y^{2} | = e^{2 C}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} | 1 + y^{2} |}{x^{2}} = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

Langkah 5.7.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} | 1 + y^{2} |}{x^{2}} = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

Langkah 5.7.2.2.1.2

Bagilah $| 1 + y^{2} |$ dengan $1$ .

$| 1 + y^{2} | = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

Langkah 5.7.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

Langkah 5.7.4

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}} - 1$

Langkah 5.7.5

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}} - 1}$

Langkah 6

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{C}{x^{2}} - 1}$

Langkah 6.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = \pm \sqrt{C \frac{1}{x^{2}} - 1}$