Kalkulus Contoh

$2 \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kelompokkan kembali faktor.

$2 \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{y}{e^{y}}$ .

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y}{e^{y}} (\frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)})$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gabungkan.

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y}{e^{y}} \cdot \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

Langkah 1.3.2

Gabungkan.

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

Langkah 1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

Langkah 1.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} (\sec (θ))}$

Langkah 1.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} \sec (θ)}$

Langkah 1.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

Langkah 1.3.5

Faktorkan $\sin (θ)$ dari $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sec (θ)}$

Langkah 1.3.6

Pisahkan pecahan.

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sec (θ)}$

Langkah 1.3.7

Tulis kembali $\sec (θ)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

Langkah 1.3.8

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} (\sin (θ) \cos (θ))$

Langkah 1.3.9

Bagilah $\sin (θ)$ dengan $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$

Langkah 1.3.10

Kalikan $\sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.10.1

Naikkan $\sin (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{1} (θ) \sin (θ) \cos (θ)$

Langkah 1.3.10.2

Naikkan $\sin (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) \cos (θ)$

Langkah 1.3.10.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = {\sin (θ)}^{1 + 1} \cos (θ)$

Langkah 1.3.10.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{2} (θ) \cos (θ)$

Langkah 1.4

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$\frac{y}{e^{y}} \cdot 2 \frac{d y}{d θ} = \sin^{2} (θ) \cos (θ)$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{y}{e^{y}} \cdot 2 d y = \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y}{e^{y}} \cdot 2 d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Gabungkan $\frac{y}{e^{y}}$ dan $2$ .

$\int \frac{y \cdot 2}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Langkah 2.2.1.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$\int \frac{2 y}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Langkah 2.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Tiadakan eksponen dari $e^{y}$ dan pindahkan dari penyebut.

$2 \int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Langkah 2.2.3.2

Kalikan eksponen dalam ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Langkah 2.2.3.2.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $y$ .

$2 \int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Langkah 2.2.3.2.3

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$2 \int y e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Langkah 2.2.4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = y$ dan $d v = e^{- y}$ .

$2 (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Langkah 2.2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$2 (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Langkah 2.2.6.2

Kalikan $\int e^{- y} d y$ dengan $1$ .

$2 (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Langkah 2.2.7

Biarkan $u_{1} = - y$ . Kemudian $d u_{1} = - d y$ sehingga $- d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.1

Biarkan $u_{1} = - y$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.1.1

Diferensialkan $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 2.2.7.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 2.2.7.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.2.7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$2 (y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Langkah 2.2.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Langkah 2.2.9

Integral dari $e^{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $e^{u_{1}}$ .

$2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1})) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Langkah 2.2.10

Tulis kembali $2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1}))$ sebagai $2 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) + C_{1}$ .

$2 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Langkah 2.2.11

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- y$ .

$2 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u_{2} = \sin (θ)$ . Kemudian $d u_{2} = \cos (θ) d θ$ sehingga $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{2} = d θ$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u_{2} = \sin (θ)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Langkah 2.3.1.1.2

Turunan dari $\sin (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$2 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$2 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\sin (θ)$ .

$2 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$2 (- y e^{- y} - e^{- y}) = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + K$