Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = (x - 3) e^{- 2 y}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{e^{- 2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} ((x - 3) e^{- 2 y})$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 2 y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $e^{- 2 y}$ dari $(x - 3) e^{- 2 y}$ .

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} (x - 3))$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} (x - 3))$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = x - 3$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} d y = (x - 3) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \int x - 3 d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Tiadakan eksponen dari $e^{- 2 y}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\int 1 {(e^{- 2 y})}^{- 1} d y = \int x - 3 d x$

Langkah 2.2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{- 2 y})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- 2 y \cdot - 1} d y = \int x - 3 d x$

Langkah 2.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\int 1 e^{2 y} d y = \int x - 3 d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $e^{2 y}$ dengan $1$ .

$\int e^{2 y} d y = \int x - 3 d x$

Langkah 2.2.2

Biarkan $u = 2 y$ . Kemudian $d u = 2 d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Biarkan $u = 2 y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Diferensialkan $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Langkah 2.2.2.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 2.2.2.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int x - 3 d x$

Langkah 2.2.3

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u = \int x - 3 d x$

Langkah 2.2.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int x - 3 d x$

Langkah 2.2.5

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int x - 3 d x$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int x - 3 d x$

Langkah 2.2.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 y$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int x - 3 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int x d x + \int - 3 d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 3 d x$

Langkah 2.3.3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 3 x + C_{3}$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 y}$ .

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{2 y} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$e^{2 y} = 2 (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$e^{2 y} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (- 3 x) + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{2 y} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (- 3 x) + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{2 y} = x^{2} + 2 (- 3 x) + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$e^{2 y} = x^{2} - 6 x + 2 K$

Langkah 3.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x^{2} - 6 x + 2 K)$

Langkah 3.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Perluas $\ln (e^{2 y})$ dengan memindahkan $2 y$ ke luar logaritma.

$2 y \ln (e) = \ln (x^{2} - 6 x + 2 K)$

Langkah 3.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 6 x + 2 K)$

Langkah 3.4.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 y = \ln (x^{2} - 6 x + 2 K)$

Langkah 3.5

Bagi setiap suku pada $2 y = \ln (x^{2} - 6 x + 2 K)$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Bagilah setiap suku di $2 y = \ln (x^{2} - 6 x + 2 K)$ dengan $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x^{2} - 6 x + 2 K)}{2}$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x^{2} - 6 x + 2 K)}{2}$

Langkah 3.5.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (x^{2} - 6 x + 2 K)}{2}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\ln (x^{2} - 6 x + K)}{2}$