Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} y - y$ , $y (1) = - 3$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $y$ dari $4 x^{3} y - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $y$ dari $4 x^{3} y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3}) - y$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3}) + y \cdot - 1$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $y$ dari $y (4 x^{3}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3} - 1)$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (4 x^{3} - 1))$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (4 x^{3} - 1))$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 1$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = (4 x^{3} - 1) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.4

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{4} - x + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = x^{4} - x + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{4} - x + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = x^{4} - x + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{x^{4} - x + C} = | y |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{x^{4} - x + C}$ .

$| y | = e^{x^{4} - x + C}$

Langkah 3.3.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{4} - x + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{x^{4} - x + C}$ sebagai $e^{x^{4} - x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{4} - x} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{x^{4} - x}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{4} - x}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{x^{4} - x}$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $- 3$ untuk $y$ padda $y = C e^{x^{4} - x}$ .

$- 3 = C e^{1^{4} - 1 \cdot 1}$

Langkah 6

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C e^{1^{4} - 1 \cdot 1} = - 3$ .

$C e^{1^{4} - 1 \cdot 1} = - 3$

Langkah 6.2

Sederhanakan $C e^{1^{4} - 1 \cdot 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$C e^{1 - 1 \cdot 1} = - 3$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$C e^{1 - 1} = - 3$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$C e^{0} = - 3$

Langkah 6.2.2.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$C \cdot 1 = - 3$

Langkah 6.2.2.3

Kalikan $C$ dengan $1$ .

$C = - 3$

Langkah 7

Substitusikan $- 3$ untuk $C$ dalam $y = C e^{x^{4} - x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $- 3$ untuk $C$ .

$y = - 3 e^{x^{4} - x}$