Kalkulus Contoh

$(9 x^{2} + y - 1) d x - (4 y - x) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 9 x^{2} + y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [9 x^{2} + y - 1]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 x^{2} + y - 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [9 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [9 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 1.3

Karena $9 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $9 x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 1.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1 + 0$

Langkah 1.6

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0$

Langkah 1.6.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - (4 y - x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (4 y - x)]$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (4 y - x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [4 y - x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [4 y - x]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 y - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.4

Karena $4 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.7

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.7.2

Kalikan $\frac{d}{d x} [x]$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$1 = 1$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (4 y - x) d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = - (4 y - x)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - \int 4 y - x d y$

Langkah 5.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = - (\int 4 y d y + \int - x d y)$

Langkah 5.3

Karena $4$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - (4 \int y d y + \int - x d y)$

Langkah 5.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - x d y)$

Langkah 5.5

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = - (4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - x y + C)$

Langkah 5.6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (4 (\frac{y^{2}}{2} + C) - x y + C)$

Langkah 5.7

Sederhanakan.

$f (x, y) = - (2 y^{2} - x y) + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 y^{2} - x y) + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 9 x^{2} + y - 1$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 y^{2} - x y) + g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- (2 y^{2} - x y) + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- (2 y^{2} - x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 y^{2} - x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- (2 y^{2} - x y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (2 y^{2} - x y)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [2 y^{2} - x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [2 y^{2} - x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Langkah 8.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y^{2} - x y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Langkah 8.3.3

Karena $2 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- (0 + \frac{d}{d x} [- x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Langkah 8.3.4

Karena $- y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x y$ terhadap $x$ adalah $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (0 - y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Langkah 8.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- (0 - y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Langkah 8.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- (0 - y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Langkah 8.3.7

Kurangi $y$ dengan $0$ .

$- - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Langkah 8.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Langkah 8.3.9

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y + \frac{d g}{d x} = 9 x^{2} + y - 1$

Langkah 8.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + y = 9 x^{2} + y - 1$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 9 x^{2} + y - 1 - y$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $9 x^{2} + y - 1 - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangi $y$ dengan $y$ .

$\frac{d g}{d x} = 9 x^{2} + 0 - 1$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $9 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 9 x^{2} - 1$

Langkah 10

Temukan $9 x^{2} - 1$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 9 x^{2} - 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 9 x^{2} - 1 d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 9 x^{2} - 1 d x$

Langkah 10.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (x) = \int 9 x^{2} d x + \int - 1 d x$

Langkah 10.4

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $9$ keluar dari integral.

$g (x) = 9 \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Langkah 10.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 1 d x$

Langkah 10.6

Terapkan aturan konstanta.

$g (x) = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - x + C$

Langkah 10.7

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$g (x) = 9 (\frac{x^{3}}{3} + C) - x + C$

Langkah 10.8

Sederhanakan.

$g (x) = 3 x^{3} - x + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = - (2 y^{2} - x y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 y^{2} - x y) + 3 x^{3} - x + C$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = - (2 y^{2}) - (- x y) + 3 x^{3} - x + C$

Langkah 12.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 y^{2} - (- x y) + 3 x^{3} - x + C$

Langkah 12.3

Kalikan $- (- x y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 y^{2} + 1 (x y) + 3 x^{3} - x + C$

Langkah 12.3.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f (x, y) = - 2 y^{2} + x y + 3 x^{3} - x + C$