Kalkulus Contoh

$x y y' = x^{2} + 1$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensialnya.

$x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Langkah 2

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Bagi setiap suku pada $x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ dengan $x y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Bagilah setiap suku di $x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ dengan $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Langkah 2.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Langkah 2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Langkah 2.1.2.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Langkah 2.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

Langkah 2.1.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (y)} + \frac{1}{x y}$

Langkah 2.1.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

Langkah 2.1.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{1}{x y}$

Langkah 2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menuliskan $\frac{x}{y}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x y}$

Langkah 2.2.2

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $y x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan $\frac{x}{y}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{y x} + \frac{1}{x y}$

Langkah 2.2.2.2

Susun kembali faktor-faktor dari $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

Langkah 2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + 1}{x y}$

Langkah 2.2.4

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x y}$

Langkah 2.3

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Langkah 2.4

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kalikan $\frac{x^{2} + 1}{x}$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{x y}$

Langkah 2.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y x}$

Langkah 2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y x}$

Langkah 2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Langkah 2.6

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Langkah 3.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.3.2.5

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.5

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Langkah 3.3.6

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

Langkah 4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Langkah 4.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Langkah 4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Langkah 4.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

Langkah 4.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Langkah 4.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Langkah 4.2.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Langkah 4.3

Sederhanakan $2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$y^{2} = x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Langkah 4.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Langkah 4.5

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Langkah 4.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Langkah 4.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Langkah 4.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Langkah 5

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$