Kalkulus Contoh

$(6 x + 3 y) d x + (3 x + 9 y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 6 x + 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x + 3 y]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x + 3 y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [3 y]$

Langkah 1.2.2

Karena $6 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $6 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 y$ terhadap $y$ adalah $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \cdot 1$

Langkah 1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3$

Langkah 1.4

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 3 x + 9 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x + 9 y]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + 9 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9 y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9 y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9 y]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + \frac{d}{d x} [9 y]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $9 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $3$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $3$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 = 3$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$3 = 3$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 6 x + 3 y d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = 6 x + 3 y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 6 x d x + \int 3 y d x$

Langkah 5.2

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 6 \int x d x + \int 3 y d x$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 y d x$

Langkah 5.4

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 y x + C$

Langkah 5.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 y x + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = 3 x^{2} + 3 y x + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} + 3 y x + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x + 9 y$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 x^{2} + 3 y x + g (y)] = 3 x + 9 y$

Langkah 8.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} + 3 y x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [3 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [3 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x + 9 y$

Langkah 8.2.2

Karena $3 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [3 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x + 9 y$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [3 y x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $3 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 y x$ terhadap $y$ adalah $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x + 9 y$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x + 9 y$

Langkah 8.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$0 + 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x + 9 y$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 3 x + \frac{d g}{d y} = 3 x + 9 y$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Tambahkan $0$ dan $3 x$ .

$3 x + \frac{d g}{d y} = 3 x + 9 y$

Langkah 8.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + 3 x = 3 x + 9 y$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $3 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = 3 x + 9 y - 3 x$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $3 x + 9 y - 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangi $3 x$ dengan $3 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 9 y + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $9 y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 9 y$

Langkah 10

Temukan $9 y$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 9 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 9 y d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 9 y d y$

Langkah 10.3

Karena $9$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $9$ keluar dari integral.

$g (y) = 9 \int y d y$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 9 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 10.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Tulis kembali $9 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $9 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 9 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Langkah 10.5.2

Gabungkan $9$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{9}{2} y^{2} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = 3 x^{2} + 3 y x + g (y)$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} + 3 y x + \frac{9}{2} y^{2} + C$

Langkah 12

Gabungkan $\frac{9}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} + 3 y x + \frac{9 y^{2}}{2} + C$