Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x y}$ , $y (1) = 2$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $\frac{\ln (x)}{x}$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{x y}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{y x}$

Langkah 1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{y x}$

Langkah 1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = \ln (x)$ . Kemudian $d u = \frac{1}{x} d x$ sehingga $x d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = \ln (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 2.3.1.1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int u d u$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln^{2} (x)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln^{2} (x)}{2} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = \ln^{2} (x) + 2 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Langkah 3.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Langkah 3.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Langkah 3.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$

Langkah 5

Karena $y$ positif pada sarat awal $(1, 2)$ , hanya pertimbangkan $y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$ untuk menentukan $K$ . Substitusikan $1$ untuk $x$ dan $2$ untuk $y$ .

$2 = \sqrt{\ln^{2} (1) + K}$

Langkah 6

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sqrt{\ln^{2} (1) + K} = 2$ .

$\sqrt{\ln^{2} (1) + K} = 2$

Langkah 6.2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{\ln^{2} (1) + K}}^{2} = 2^{2}$

Langkah 6.3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{\ln^{2} (1) + K}$ sebagai ${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Sederhanakan ${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Langkah 6.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Langkah 6.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(\ln^{2} (1) + K)}^{1} = 2^{2}$

Langkah 6.3.2.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.2.1

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

${(0^{2} + K)}^{1} = 2^{2}$

Langkah 6.3.2.1.2.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

${(0 + K)}^{1} = 2^{2}$

Langkah 6.3.2.1.3

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.3.1

Tambahkan $0$ dan $K$ .

$K^{1} = 2^{2}$

Langkah 6.3.2.1.3.2

Sederhanakan.

$K = 2^{2}$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$K = 4$

Langkah 7

Substitusikan $4$ untuk $K$ dalam $y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $4$ untuk $K$ .

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 4}$