Kalkulus Contoh

$y (x + y + 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y (x + y + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (x + y + 1)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = y$ dan $g (y) = x + y + 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x + y + 1] + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (1 + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.5

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (1 + 0) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot 1 + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.6.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y + (x + y + 1) \cdot 1$

Langkah 1.3.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.8.1

Kalikan $x + y + 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y + x + y + 1$

Langkah 1.3.8.2

Tambahkan $y$ dan $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2 y + 1$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x (x + 3 y + 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 3 y + 2)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x + 3 y + 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 3 y + 2] + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 3 y + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.3

Karena $3 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.4

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.6.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 3 y + 2) \cdot 1$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1

Kalikan $x + 3 y + 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 3 y + 2$

Langkah 2.3.8.2

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y + 2$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $x + 2 y + 1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 x + 3 y + 2$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x + 2 y + 1 = 2 x + 3 y + 2$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$x + 2 y + 1 = 2 x + 3 y + 2$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $2 x + 3 y + 2$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $x + 2 y + 1$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - (x + 2 y + 1)}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $y (x + y + 1)$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $y (x + y + 1)$ untuk $M$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - (x + 2 y + 1)}{y (x + y + 1)}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x + 3 y + 2 - x - (2 y) - 1 \cdot 1}{y (x + y + 1)}$

Langkah 4.3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - x - 2 y - 1 \cdot 1}{y (x + y + 1)}$

Langkah 4.3.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - x - 2 y - 1}{y (x + y + 1)}$

Langkah 4.3.2.3

Kurangi $x$ dengan $2 x$ .

$\frac{x + 3 y + 2 - 2 y - 1}{y (x + y + 1)}$

Langkah 4.3.2.4

Kurangi $2 y$ dengan $3 y$ .

$\frac{x + y + 2 - 1}{y (x + y + 1)}$

Langkah 4.3.2.5

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{x + y + 1}{y (x + y + 1)}$

Langkah 4.3.3

Substitusikan $y (x + y + 1)$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x + y + 1}{y (x + y + 1)}$

Langkah 4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Langkah 5.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Langkah 5.2.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = | y | + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $y (x + y + 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$ dengan faktor integral $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $y (x + y + 1)$ dengan $y$ .

$y (x + y + 1) y d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Pindahkan $y$ .

$y \cdot y (x + y + 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Langkah 6.2.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y^{2} (x + y + 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Langkah 6.3

Terapkan sifat distributif.

$(y^{2} x + y^{2} y + y^{2} \cdot 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Langkah 6.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$(y^{2} x + y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Langkah 6.4.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(y^{2} x + y^{2 + 1} + y^{2} \cdot 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Langkah 6.4.1.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2} \cdot 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Langkah 6.4.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $x (x + 3 y + 2)$ dengan $y$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + x (x + 3 y + 2) y d y = 0$

Langkah 6.6

Terapkan sifat distributif.

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x \cdot x + x (3 y) + x \cdot 2) y d y = 0$

Langkah 6.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} + x (3 y) + x \cdot 2) y d y = 0$

Langkah 6.7.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} + 3 x y + x \cdot 2) y d y = 0$

Langkah 6.7.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} + 3 x y + 2 \cdot x) y d y = 0$

Langkah 6.8

Terapkan sifat distributif.

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} y + 3 x y \cdot y + 2 x y) d y = 0$

Langkah 6.9

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.1

Pindahkan $y$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} y + 3 x (y \cdot y) + 2 x y) d y = 0$

Langkah 6.9.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y) d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} x + y^{3} + y^{2} d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = y^{2} x + y^{3} + y^{2}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int y^{2} x d x + \int y^{3} d x + \int y^{2} d x$

Langkah 8.2

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $y^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = y^{2} \int x d x + \int y^{3} d x + \int y^{2} d x$

Langkah 8.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y^{3} d x + \int y^{2} d x$

Langkah 8.4

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y^{3} x + C + \int y^{2} d x$

Langkah 8.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{3} x + C + \int y^{2} d x$

Langkah 8.6

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{3} x + C + y^{2} x + C$

Langkah 8.7

Sederhanakan.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$

Langkah 8.8

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Langkah 11.3.2

Gabungkan $\frac{y^{2}}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Langkah 11.3.3

Karena $\frac{x^{2}}{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Langkah 11.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Langkah 11.3.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Langkah 11.3.6

Gabungkan $\frac{2 x^{2}}{2}$ dan $y$ .

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Langkah 11.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Langkah 11.3.7.2

Bagilah $x^{2} y$ dengan $1$ .

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Langkah 11.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{3} x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{2} y + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Langkah 11.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x^{2} y + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Langkah 11.4.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Langkah 11.5

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{2} x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Langkah 11.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Langkah 11.5.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Langkah 11.6

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Langkah 11.7

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y + 3 y^{2} x + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $x^{2} y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - x^{2} y$

Langkah 12.1.2

Kurangkan $3 y^{2} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - x^{2} y - 3 y^{2} x$

Langkah 12.1.3

Kurangkan $2 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - x^{2} y - 3 y^{2} x - 2 x y$

Langkah 12.1.4

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - x^{2} y - 3 y^{2} x - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.4.1

Kurangi $x^{2} y$ dengan $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} + 2 x y + 0 - 3 y^{2} x - 2 x y$

Langkah 12.1.4.2

Tambahkan $3 x y^{2} + 2 x y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - 2 x y$

Langkah 12.1.4.3

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $3 x y^{2}$ dan $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x + 2 x y - 3 y^{2} x - 2 x y$

Langkah 12.1.4.4

Kurangi $3 y^{2} x$ dengan $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 0 - 2 x y$

Langkah 12.1.4.5

Tambahkan $2 x y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - 2 x y$

Langkah 12.1.4.6

Kurangi $2 x y$ dengan $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Langkah 13

Temukan $0$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Langkah 13.3

Integral dari $0$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Langkah 13.4

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$g (y) = C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$

Langkah 15

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$

Langkah 15.2

Gabungkan $\frac{y^{2}}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$