Aljabar Contoh

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 4) < 5$

Langkah 1

Ubah pertidaksamaan tersebut menjadi persamaan.

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 4) = 5$

Langkah 2

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (x (x + 4)) = 5$

Langkah 2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 4) = 5$

Langkah 2.1.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 4) = 5$

Langkah 2.1.3.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 4 x) = 5$

Langkah 2.2

Tulis kembali $\log_{2} (x^{2} + 4 x) = 5$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$2^{5} = x^{2} + 4 x$

Langkah 2.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x^{2} + 4 x = 2^{5}$ .

$x^{2} + 4 x = 2^{5}$

Langkah 2.3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $5$ .

$x^{2} + 4 x = 32$

Langkah 2.3.3

Kurangkan $32$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} + 4 x - 32 = 0$

Langkah 2.3.4

Faktorkan $x^{2} + 4 x - 32$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 32$ dan jumlahnya $4$ .

$- 4, 8$

Langkah 2.3.4.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x - 4) (x + 8) = 0$

Langkah 2.3.5

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Langkah 2.3.6

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Atur $x - 4$ sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 2.3.6.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 2.3.7

Atur $x + 8$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Atur $x + 8$ sama dengan $0$ .

$x + 8 = 0$

Langkah 2.3.7.2

Kurangkan $8$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 8$

Langkah 2.3.8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 4) (x + 8) = 0$ benar.

$x = 4, - 8$

Langkah 3

Tentukan domain dari $\log_{2} (x^{2} + 4 x) - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur argumen dalam $\log_{2} (x^{2} + 4 x)$ agar lebih besar dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x^{2} + 4 x > 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Konversikan pertidaksamaan ke persamaan.

$x^{2} + 4 x = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2} + 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$x \cdot x + 4 x = 0$

Langkah 3.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 4 = 0$

Langkah 3.2.2.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x \cdot 4$ .

$x (x + 4) = 0$

Langkah 3.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Langkah 3.2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.2.5

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Atur $x + 4$ sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 3.2.5.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 3.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (x + 4) = 0$ benar.

$x = 0, - 4$

Langkah 3.2.7

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$x > 0$

Langkah 3.2.8

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1

Uji nilai pada interval $x < - 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 6$

Langkah 3.2.8.1.2

Ganti $x$ dengan $- 6$ pada pertidaksamaan asal.

${(- 6)}^{2} + 4 (- 6) > 0$

Langkah 3.2.8.1.3

Sisi kiri $12$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 3.2.8.2

Uji nilai pada interval $- 4 < x < 0$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.2.1

Pilih nilai pada interval $- 4 < x < 0$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 2$

Langkah 3.2.8.2.2

Ganti $x$ dengan $- 2$ pada pertidaksamaan asal.

${(- 2)}^{2} + 4 (- 2) > 0$

Langkah 3.2.8.2.3

Sisi kiri $- 4$ tidak lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 3.2.8.3

Uji nilai pada interval $x > 0$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 0$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 2$

Langkah 3.2.8.3.2

Ganti $x$ dengan $2$ pada pertidaksamaan asal.

${(2)}^{2} + 4 (2) > 0$

Langkah 3.2.8.3.3

Sisi kiri $12$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 3.2.8.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 4$ Benar

$- 4 < x < 0$ Salah

$x > 0$ Benar

$x < - 4$ Benar

$- 4 < x < 0$ Salah

$x > 0$ Benar

Langkah 3.2.9

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x < - 4$ atau $x > 0$

Langkah 3.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, - 4) \cup (0, \infty)$

Langkah 4

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Langkah 5

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Uji nilai pada interval $x < - 8$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 8$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 10$

Langkah 5.1.2

Ganti $x$ dengan $- 10$ pada pertidaksamaan asal.

$\log_{2} (- 10) + \log_{2} ((- 10) + 4) < 5$

Langkah 5.1.3

Tentukan apakah pertidaksamaan tersebut benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan karena tidak terdefinisi.

$Tidak terdefinisi$

Langkah 5.1.3.2

Sisi kirinya tidak memiliki penyelesaian, yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 5.2

Uji nilai pada interval $- 8 < x < - 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Pilih nilai pada interval $- 8 < x < - 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 6$

Langkah 5.2.2

Ganti $x$ dengan $- 6$ pada pertidaksamaan asal.

$\log_{2} (- 6) + \log_{2} ((- 6) + 4) < 5$

Langkah 5.2.3

Tentukan apakah pertidaksamaan tersebut benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan karena tidak terdefinisi.

$Tidak terdefinisi$

Langkah 5.2.3.2

Sisi kirinya tidak memiliki penyelesaian, yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 5.3

Uji nilai pada interval $- 4 < x < 0$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pilih nilai pada interval $- 4 < x < 0$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 2$

Langkah 5.3.2

Ganti $x$ dengan $- 2$ pada pertidaksamaan asal.

$\log_{2} (- 2) + \log_{2} ((- 2) + 4) < 5$

Langkah 5.3.3

Tentukan apakah pertidaksamaan tersebut benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan karena tidak terdefinisi.

$Tidak terdefinisi$

Langkah 5.3.3.2

Sisi kirinya tidak memiliki penyelesaian, yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 5.4

Uji nilai pada interval $0 < x < 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Pilih nilai pada interval $0 < x < 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 2$

Langkah 5.4.2

Ganti $x$ dengan $2$ pada pertidaksamaan asal.

$\log_{2} (2) + \log_{2} ((2) + 4) < 5$

Langkah 5.4.3

Sisi kiri $3.5849625$ lebih kecil dari sisi kanan $5$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 5.5

Uji nilai pada interval $x > 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Pilih nilai pada interval $x > 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 6$

Langkah 5.5.2

Ganti $x$ dengan $6$ pada pertidaksamaan asal.

$\log_{2} (6) + \log_{2} ((6) + 4) < 5$

Langkah 5.5.3

Sisi kiri $5.90689059$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $5$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 5.6

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 8$ Salah

$- 8 < x < - 4$ Salah

$- 4 < x < 0$ Salah

$0 < x < 4$ Benar

$x > 4$ Salah

$x < - 8$ Salah

$- 8 < x < - 4$ Salah

$- 4 < x < 0$ Salah

$0 < x < 4$ Benar

$x > 4$ Salah

Langkah 6

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$0 < x < 4$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Ketidaksamaan:

$0 < x < 4$

Notasi Interval:

$(0, 4)$

Langkah 8