Contoh

$3 x - y = - 4$ , $x - 2 y = - 3$

Langkah 1

Untuk menentukan perpotongan garis yang melalui titik $(p, q, r)$ tegak lurus terhadap bidang $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ dan bidang $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Tentukan vektor normal bidang (Variabel0) dan bidang (Variabel1) di mana vektor normalnya adalah $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dan $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Periksa untuk memastikan bahwa hasil perkalian titiknya adalah 0.

2. Buat sebuah himpunan persamaan parametrik sedemikian rupa sehingga $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , dan $z = r + c t$ .

3. Substitusikan persamaan-persamaan ini ke dalam persamaan untuk bidang (Variabel0) sedemikian rupa sehingga $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ dan selesaikan $t$ .

4. Menggunakan nilai dari $t$ , selesaikan persamaan parametrik $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , dan $z = r + c t$ untuk $t$ untuk menentukan perpotongan $(x, y, z)$ .

Langkah 2

Tentukan vektor normal untuk setiap bidang dan tentukan apakah tegak lurus dengan menghitung hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

(Variabel0) adalah $3 x - y = - 4$ . Cari vektor normal $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dari persamaan bidang bentuk $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩$

Langkah 2.2

(Variabel0) adalah $x - 2 y = - 3$ . Cari vektor normal $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ dari persamaan bidang bentuk $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 1, - 2, 0 ⟩$

Langkah 2.3

Hitung hasil perkalian titik dari $n_{1}$ dan $n_{2}$ dengan menjumlahkan hasil kali dari nilai $x$ , $y$ , dan $z$ yang sesuai dalam vektor normal.

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Langkah 2.4

Sederhanakan hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Hilangkan tanda kurung.

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Langkah 2.4.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$3 + 2 + 0 \cdot 0$

Langkah 2.4.2.3

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$3 + 2 + 0$

Langkah 2.4.3

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$5 + 0$

Langkah 2.4.3.2

Tambahkan $5$ dan $0$ .

$5$

Langkah 3

Selanjutnya, buat himpunan persamaan parametrik $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , dan $z = r + c t$ menggunakan titik asal $(0, 0, 0)$ untuk titik $(p, q, r)$ dan nilai dari vektor normal $5$ untuk nilai-nilai $a$ , $b$ , dan $c$ . Himpunan persamaan parametrik ini mewakili garis yang melalui asalnya yaitu tegak lurus dengan $P_{1}$ $3 x - y = - 4$ .

$x = 0 + 3 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Langkah 4

Substitusikan pernyataan untuk $x$ , $y$ , dan $z$ ke dalam persamaan untuk $P_{2}$ $x - 2 y = - 3$ .

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

Langkah 5

Selesaikan persamaan untuk $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Gabungkan suku balikan dalam $(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Tambahkan $0$ dan $3 \cdot t$ .

$3 \cdot t - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

Langkah 5.1.1.2

Kurangi $1 \cdot t$ dengan $0$ .

$3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Tulis kembali $- 1 t$ sebagai $- t$ .

$3 t - 2 (- t) = - 3$

Langkah 5.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$3 t + 2 t = - 3$

Langkah 5.1.3

Tambahkan $3 t$ dan $2 t$ .

$5 t = - 3$

Langkah 5.2

Bagi setiap suku pada $5 t = - 3$ dengan $5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Bagilah setiap suku di $5 t = - 3$ dengan $5$ .

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

Langkah 5.2.2.1.2

Bagilah $t$ dengan $1$ .

$t = \frac{- 3}{5}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$t = - \frac{3}{5}$

Langkah 6

Selesaikan persamaan parametrik untuk $x$ , $y$ , dan $z$ menggunakan nilai dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 0 + 3 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Langkah 6.1.2

Hilangkan tanda kurung.

$x = 0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$

Langkah 6.1.3

Sederhanakan $0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1.1

Kalikan $3 (- \frac{3}{5})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$x = 0 - 3 (\frac{3}{5})$

Langkah 6.1.3.1.1.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{3}{5}$ .

$x = 0 + \frac{- 3 \cdot 3}{5}$

Langkah 6.1.3.1.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $3$ .

$x = 0 + \frac{- 9}{5}$

Langkah 6.1.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = 0 - \frac{9}{5}$

Langkah 6.1.3.2

Kurangi $\frac{9}{5}$ dengan $0$ .

$x = - \frac{9}{5}$

Langkah 6.2

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Langkah 6.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan $0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Kalikan $- 1 (- \frac{3}{5})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = 0 + 1 (\frac{3}{5})$

Langkah 6.2.3.1.2

Kalikan $\frac{3}{5}$ dengan $1$ .

$y = 0 + \frac{3}{5}$

Langkah 6.2.3.2

Tambahkan $0$ dan $\frac{3}{5}$ .

$y = \frac{3}{5}$

Langkah 6.3

Selesaikan persamaan untuk $z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Hilangkan tanda kurung.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Langkah 6.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan $0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Kalikan $0 (- \frac{3}{5})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{3}{5})$

Langkah 6.3.3.1.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{3}{5}$ .

$z = 0 + 0$

Langkah 6.3.3.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$z = 0$

Langkah 6.4

Persamaan parametrik yang diselesaikan untuk $x$ , $y$ , dan $z$ .

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$z = 0$

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$z = 0$

Langkah 7

Menggunakan nilai yang dihitung untuk $x$ , $y$ , dan $z$ , titik perpotongannya ditemukan, yaitu $(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$ .

$(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$

Masukkan Soal