Trigonometri Contoh

${(z - 3)}^{3} = 2 i$

Langkah 1

Substitusikan $u$ untuk $z - 3$ .

$u^{3} = 2 i$

Langkah 2

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 3

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = 0$ dan $b = 2$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Langkah 5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$| z | = 2$

Langkah 6

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{2}{0})$

Langkah 7

Karena argumennya tidak terdefinisi dan $b$ positif, sudut dari titik pada bidang kompleksnya adalah $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Langkah 8

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = \frac{π}{2}$ dan $| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 9

Ganti sisi kanan persamaan tersebut dengan bentuk trigonometri.

$u^{3} = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 10

Gunakan Teorema De Moivre untuk mencari persamaan untuk $u$ .

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = 2 i = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 11

Samakan modulus dari bentuk trigonometri ke $r^{3}$ untuk menemukan nilai dari $r$ .

$r^{3} = 2$

Langkah 12

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \sqrt[3]{2}$

Langkah 13

Tentukan nilai perkiraan dari $r$ .

$r = 1.25992104$

Langkah 14

Temukan nilai yang memungkinkan dari $θ$ .

$c o s (3 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ dan $s i n (3 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

Langkah 15

Menemukan semua nilai $θ$ yang memungkinkan mengarah ke persamaan $3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

Langkah 16

Temukan nilai dari $θ$ untuk $r = 0$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

Langkah 17

Selesaikan persamaan untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1

Kalikan $2 π (0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1.1

Kalikan $0$ dengan $2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

Langkah 17.1.1.2

Kalikan $0$ dengan $π$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 0$

Langkah 17.1.2

Tambahkan $\frac{π}{2}$ dan $0$ .

$3 θ = \frac{π}{2}$

Langkah 17.2

Bagi setiap suku pada $3 θ = \frac{π}{2}$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Bagilah setiap suku di $3 θ = \frac{π}{2}$ dengan $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Langkah 17.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Langkah 17.2.2.1.2

Bagilah $θ$ dengan $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Langkah 17.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 17.2.3.2

Kalikan $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.3.2.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Langkah 17.2.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Langkah 18

Gunakan nilai $θ$ dan $r$ untuk menghitung penyelesaian untuk persamaan $u^{3} = 2 i$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Langkah 19

Konversikan penyelesaian ke bentuk persegi panjang.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Langkah 19.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

Langkah 19.1.3

Gabungkan $i$ dan $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Langkah 19.2

Terapkan sifat distributif.

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Langkah 19.3

Kalikan $1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.1

Gabungkan $1.25992104$ dan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = \frac{1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Langkah 19.3.2

Kalikan $1.25992104$ dengan $\sqrt{3}$ .

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Langkah 19.4

Gabungkan $1.25992104$ dan $\frac{i}{2}$ .

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

Langkah 19.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.5.1

Bagilah $2.18224727$ dengan $2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

Langkah 19.5.2

Faktorkan $1.25992104$ dari $1.25992104 i$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

Langkah 19.5.3

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

Langkah 19.5.4

Pisahkan pecahan.

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

Langkah 19.5.5

Bagilah $1.25992104$ dengan $2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

Langkah 19.5.6

Bagilah $i$ dengan $1$ .

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 i$

Langkah 20

Substitusikan $z - 3$ untuk $u$ untuk menghitung nilai $z$ setelah pergeseran ke kanan.

$z_{0} = 3 + 1.09112363 + 0.62996052 i$

Langkah 21

Temukan nilai dari $θ$ untuk $r = 1$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

Langkah 22

Selesaikan persamaan untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

Langkah 22.1.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 22.1.3

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Langkah 22.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Langkah 22.1.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$3 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

Langkah 22.1.6

Tambahkan $π$ dan $4 π$ .

$3 θ = \frac{5 π}{2}$

Langkah 22.2

Bagi setiap suku pada $3 θ = \frac{5 π}{2}$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.1

Bagilah setiap suku di $3 θ = \frac{5 π}{2}$ dengan $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Langkah 22.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Langkah 22.2.2.1.2

Bagilah $θ$ dengan $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Langkah 22.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 22.2.3.2

Kalikan $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.3.2.1

Kalikan $\frac{5 π}{2}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Langkah 22.2.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Langkah 23

Gunakan nilai $θ$ dan $r$ untuk menghitung penyelesaian untuk persamaan $u^{3} = 2 i$ .

$u_{1} = 1.25992104 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Langkah 24

Konversikan penyelesaian ke bentuk persegi panjang.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$u_{1} = 1.25992104 (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Langkah 24.1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Langkah 24.1.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Langkah 24.1.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

Langkah 24.1.5

Gabungkan $i$ dan $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Langkah 24.2

Terapkan sifat distributif.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Langkah 24.3

Kalikan $1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1.25992104$ .

$u_{1} = - 1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Langkah 24.3.2

Gabungkan $- 1.25992104$ dan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Langkah 24.3.3

Kalikan $- 1.25992104$ dengan $\sqrt{3}$ .

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Langkah 24.4

Gabungkan $1.25992104$ dan $\frac{i}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

Langkah 24.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.5.1

Bagilah $- 2.18224727$ dengan $2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

Langkah 24.5.2

Faktorkan $1.25992104$ dari $1.25992104 i$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

Langkah 24.5.3

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

Langkah 24.5.4

Pisahkan pecahan.

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

Langkah 24.5.5

Bagilah $1.25992104$ dengan $2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

Langkah 24.5.6

Bagilah $i$ dengan $1$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 i$

Langkah 25

Substitusikan $z - 3$ untuk $u$ untuk menghitung nilai $z$ setelah pergeseran ke kanan.

$z_{1} = 3 - 1.09112363 + 0.62996052 i$

Langkah 26

Temukan nilai dari $θ$ untuk $r = 2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

Langkah 27

Selesaikan persamaan untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.1.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

Langkah 27.1.2

Untuk menuliskan $4 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 27.1.3

Gabungkan $4 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

Langkah 27.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

Langkah 27.1.5

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$3 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

Langkah 27.1.6

Tambahkan $π$ dan $8 π$ .

$3 θ = \frac{9 π}{2}$

Langkah 27.2

Bagi setiap suku pada $3 θ = \frac{9 π}{2}$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.1

Bagilah setiap suku di $3 θ = \frac{9 π}{2}$ dengan $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Langkah 27.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Langkah 27.2.2.1.2

Bagilah $θ$ dengan $1$ .

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Langkah 27.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 27.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $9 π$ .

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 27.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 27.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \frac{3 π}{2}$

Langkah 28

Gunakan nilai $θ$ dan $r$ untuk menghitung penyelesaian untuk persamaan $u^{3} = 2 i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Langkah 29

Konversikan penyelesaian ke bentuk persegi panjang.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 29.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 29.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Langkah 29.1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Langkah 29.1.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- \sin (\frac{π}{2})))$

Langkah 29.1.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- 1 \cdot 1))$

Langkah 29.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \cdot - 1)$

Langkah 29.1.6

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 - 1 \cdot i)$

Langkah 29.1.7

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 - i)$

Langkah 29.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 29.2.1

Kurangi $i$ dengan $0$ .

$u_{2} = 1.25992104 (- i)$

Langkah 29.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1.25992104$ .

$u_{2} = - 1.25992104 i$

Langkah 30

Substitusikan $z - 3$ untuk $u$ untuk menghitung nilai $z$ setelah pergeseran ke kanan.

$z_{2} = 3 - 1.25992104 i$

Langkah 31

Ini adalah penyelesaian kompleks untuk $u^{3} = 2 i$ .

$z_{0} = 4.09112363 + 0.62996052 i$

$z_{1} = 1.90887636 + 0.62996052 i$

$z_{2} = 3 - 1.25992104 i$

Masukkan Soal