Trigonometri Contoh
32+32i√332+32i√3 , n=3n=3
Langkah 1
Hitung jarak dari (a,b)(a,b) ke titik awal menggunakan rumus r=√a2+b2r=√a2+b2.
r=√322+(√3⋅32)2r=√322+(√3⋅32)2
Langkah 2
Langkah 2.1
Sederhanakan pernyataannya.
Langkah 2.1.1
Naikkan 3232 menjadi pangkat 22.
r=√1024+(√3⋅32)2r=√1024+(√3⋅32)2
Langkah 2.1.2
Pindahkan 3232 ke sebelah kiri √3√3.
r=√1024+(32⋅√3)2r=√1024+(32⋅√3)2
Langkah 2.1.3
Terapkan kaidah hasil kali ke 32√332√3.
r=√1024+322√32r=√1024+322√32
Langkah 2.1.4
Naikkan 3232 menjadi pangkat 22.
r=√1024+1024√32r=√1024+1024√32
r=√1024+1024√32r=√1024+1024√32
Langkah 2.2
Tulis kembali √32√32 sebagai 33.
Langkah 2.2.1
Gunakan n√ax=axnn√ax=axn untuk menuliskan kembali √3√3 sebagai 312312.
r=√1024+1024(312)2r=√1024+1024(312)2
Langkah 2.2.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, (am)n=amn(am)n=amn.
r=√1024+1024⋅312⋅2r=√1024+1024⋅312⋅2
Langkah 2.2.3
Gabungkan 1212 dan 22.
r=√1024+1024⋅322r=√1024+1024⋅322
Langkah 2.2.4
Batalkan faktor persekutuan dari 22.
Langkah 2.2.4.1
Batalkan faktor persekutuan.
r=√1024+1024⋅322
Langkah 2.2.4.2
Tulis kembali pernyataannya.
r=√1024+1024⋅31
r=√1024+1024⋅31
Langkah 2.2.5
Evaluasi eksponennya.
r=√1024+1024⋅3
r=√1024+1024⋅3
Langkah 2.3
Sederhanakan pernyataannya.
Langkah 2.3.1
Kalikan 1024 dengan 3.
r=√1024+3072
Langkah 2.3.2
Tambahkan 1024 dan 3072.
r=√4096
Langkah 2.3.3
Tulis kembali 4096 sebagai 642.
r=√642
Langkah 2.3.4
Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.
r=64
r=64
r=64
Langkah 3
Hitung sudut acuan θ̂=arctan(|ba|).
θ̂=arctan(|√3⋅3232|)
Langkah 4
Langkah 4.1
Batalkan faktor persekutuan dari 32.
Langkah 4.1.1
Batalkan faktor persekutuan.
θ̂=arctan(|√3⋅3232|)
Langkah 4.1.2
Bagilah √3 dengan 1.
θ̂=arctan(|√3|)
θ̂=arctan(|√3|)
Langkah 4.2
√3 mendekati 1.7320508 yang positif sehingga menghapus nilai mutlak
θ̂=arctan(√3)
Langkah 4.3
Nilai eksak dari arctan(√3) adalah π3.
θ̂=π3
θ̂=π3
Langkah 5
Langkah 5.1
Pindahkan 32 ke sebelah kiri √3.
(32,32√3)
Langkah 5.2
Titiknya terletak di kuadran pertama karena x dan y keduanya positif. Kuadran-kuadran diberi nama dalam urutan berlawanan arah jarum jam, dimulai dari kanan atas.
Kuadran 1
Kuadran 1
Langkah 6
(a,b) berada di kuadran pertama. θ=θ̂
θ=π3
Langkah 7
Gunakan rumusnya untuk menentukan akar-akar dari bilangan kompleks.
(a+bi)1n=r1ncis(θ+2πkn), k=0,1,…,n-1
Langkah 8
Langkah 8.1
Gabungkan (64)13 dan (π3)+2πk3.
cis(64)13((π3)+2πk)3
Langkah 8.2
Gabungkan c dan (64)13((π3)+2πk)3.
isc((64)13((π3)+2πk))3
Langkah 8.3
Gabungkan i dan c((64)13((π3)+2πk))3.
si(c((64)13((π3)+2πk)))3
Langkah 8.4
Gabungkan s dan i(c((64)13((π3)+2πk)))3.
s(i(c((64)13((π3)+2πk))))3
Langkah 8.5
Hilangkan tanda kurung.
Langkah 8.5.1
Hilangkan tanda kurung.
s(i(c(6413((π3)+2πk))))3
Langkah 8.5.2
Hilangkan tanda kurung.
s(i(c(6413(π3+2πk))))3
Langkah 8.5.3
Hilangkan tanda kurung.
s(i(c⋅6413(π3+2πk)))3
Langkah 8.5.4
Hilangkan tanda kurung.
s(i(c⋅6413)(π3+2πk))3
Langkah 8.5.5
Hilangkan tanda kurung.
s(ic⋅6413(π3+2πk))3
Langkah 8.5.6
Hilangkan tanda kurung.
s(ic⋅6413)(π3+2πk)3
Langkah 8.5.7
Hilangkan tanda kurung.
s(ic)⋅6413(π3+2πk)3
Langkah 8.5.8
Hilangkan tanda kurung.
sic⋅6413(π3+2πk)3
sic⋅6413(π3+2πk)3
sic⋅6413(π3+2πk)3
Langkah 9
Langkah 9.1
Tulis kembali 64 sebagai 43.
k=0:(43)13cis((π3)+2π(0)3)
Langkah 9.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, (am)n=amn.
k=0:43(13)cis((π3)+2π(0)3)
Langkah 9.3
Batalkan faktor persekutuan dari 3.
Langkah 9.3.1
Batalkan faktor persekutuan.
k=0:43(13)cis((π3)+2π(0)3)
Langkah 9.3.2
Tulis kembali pernyataannya.
k=0:4cis((π3)+2π(0)3)
k=0:4cis((π3)+2π(0)3)
Langkah 9.4
Evaluasi eksponennya.
k=0:4cis((π3)+2π(0)3)
Langkah 9.5
Kalikan 2π(0).
Langkah 9.5.1
Kalikan 0 dengan 2.
k=0:4cis(π3+0π3)
Langkah 9.5.2
Kalikan 0 dengan π.
k=0:4cis(π3+03)
k=0:4cis(π3+03)
Langkah 9.6
Tambahkan π3 dan 0.
k=0:4cis(π33)
Langkah 9.7
Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.
k=0:4cis(π3⋅13)
Langkah 9.8
Kalikan π3⋅13.
Langkah 9.8.1
Kalikan π3 dengan 13.
k=0:4cis(π3⋅3)
Langkah 9.8.2
Kalikan 3 dengan 3.
k=0:4cis(π9)
k=0:4cis(π9)
k=0:4cis(π9)
Langkah 10
Langkah 10.1
Tulis kembali 64 sebagai 43.
k=1:(43)13cis((π3)+2π(1)3)
Langkah 10.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, (am)n=amn.
k=1:43(13)cis((π3)+2π(1)3)
Langkah 10.3
Batalkan faktor persekutuan dari 3.
Langkah 10.3.1
Batalkan faktor persekutuan.
k=1:43(13)cis((π3)+2π(1)3)
Langkah 10.3.2
Tulis kembali pernyataannya.
k=1:4cis((π3)+2π(1)3)
k=1:4cis((π3)+2π(1)3)
Langkah 10.4
Evaluasi eksponennya.
k=1:4cis((π3)+2π(1)3)
Langkah 10.5
Kalikan 2 dengan 1.
k=1:4cis(π3+2π3)
Langkah 10.6
Untuk menuliskan 2π sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan 33.
k=1:4cis(π3+2π⋅333)
Langkah 10.7
Gabungkan 2π dan 33.
k=1:4cis(π3+2π⋅333)
Langkah 10.8
Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.
k=1:4cis(π+2π⋅333)
Langkah 10.9
Sederhanakan pembilangnya.
Langkah 10.9.1
Kalikan 3 dengan 2.
k=1:4cis(π+6π33)
Langkah 10.9.2
Tambahkan π dan 6π.
k=1:4cis(7π33)
k=1:4cis(7π33)
Langkah 10.10
Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.
k=1:4cis(7π3⋅13)
Langkah 10.11
Kalikan 7π3⋅13.
Langkah 10.11.1
Kalikan 7π3 dengan 13.
k=1:4cis(7π3⋅3)
Langkah 10.11.2
Kalikan 3 dengan 3.
k=1:4cis(7π9)
k=1:4cis(7π9)
k=1:4cis(7π9)
Langkah 11
Langkah 11.1
Tulis kembali 64 sebagai 43.
k=2:(43)13cis((π3)+2π(2)3)
Langkah 11.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, (am)n=amn.
k=2:43(13)cis((π3)+2π(2)3)
Langkah 11.3
Batalkan faktor persekutuan dari 3.
Langkah 11.3.1
Batalkan faktor persekutuan.
k=2:43(13)cis((π3)+2π(2)3)
Langkah 11.3.2
Tulis kembali pernyataannya.
k=2:4cis((π3)+2π(2)3)
k=2:4cis((π3)+2π(2)3)
Langkah 11.4
Evaluasi eksponennya.
k=2:4cis((π3)+2π(2)3)
Langkah 11.5
Kalikan 2 dengan 2.
k=2:4cis(π3+4π3)
Langkah 11.6
Untuk menuliskan 4π sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan 33.
k=2:4cis(π3+4π⋅333)
Langkah 11.7
Gabungkan 4π dan 33.
k=2:4cis(π3+4π⋅333)
Langkah 11.8
Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.
k=2:4cis(π+4π⋅333)
Langkah 11.9
Sederhanakan pembilangnya.
Langkah 11.9.1
Kalikan 3 dengan 4.
k=2:4cis(π+12π33)
Langkah 11.9.2
Tambahkan π dan 12π.
k=2:4cis(13π33)
k=2:4cis(13π33)
Langkah 11.10
Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.
k=2:4cis(13π3⋅13)
Langkah 11.11
Kalikan 13π3⋅13.
Langkah 11.11.1
Kalikan 13π3 dengan 13.
k=2:4cis(13π3⋅3)
Langkah 11.11.2
Kalikan 3 dengan 3.
k=2:4cis(13π9)
k=2:4cis(13π9)
k=2:4cis(13π9)
Langkah 12
Sebutkan penyelesaian-penyelesaiannya.
k=0:4cis(π9)
k=1:4cis(7π9)
k=2:4cis(13π9)