Prakalkulus Contoh

x^{2} + 4 y^{2} = 1

$x^{2} + 4 y^{2} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan

1

$1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi

1

$1$ .

x^{2} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1

$x^{2} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel

a

$a$ mewakili radius sumbu panjang elips,

b

$b$ mewakili radius sumbu pendek elips,

h

$h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan

k

$k$ mewakili y-offset dari titik asal.

a = 1

$a = 1$

b = \frac{1}{2}

$b = \frac{1}{2}$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari

(h, k)

$(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari

h

$h$ dan

k

$k$ .

(0, 0)

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan

c

$c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

\sqrt{a^{2} - b^{2}}

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari

a

$a$ dan

b

$b$ dalam rumus.

\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 5.3.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Langkah 5.3.4

Naikkan

2

$2$ menjadi pangkat

2

$2$ .

\sqrt{1 - \frac{1}{4}}

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Langkah 5.3.5

Tuliskan

1

$1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Langkah 5.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Langkah 5.3.7

Kurangi

1

$1$ dengan

4

$4$ .

\sqrt{\frac{3}{4}}

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Langkah 5.3.8

Tulis kembali

\sqrt{\frac{3}{4}}

$\sqrt{\frac{3}{4}}$ sebagai

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Langkah 5.3.9

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.9.1

Tulis kembali

4

$4$ sebagai

2^{2}

$2^{2}$ .

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Langkah 5.3.9.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan

a

$a$ ke

h

$h$ .

(h + a, k)

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai

h

$h$ ,

a

$a$ , dan

k

$k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

(0 + 1, 0)

$(0 + 1, 0)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

(1, 0)

$(1, 0)$

Langkah 6.4

Puncak kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi

a

$a$ dari

h

$h$ .

(h - a, k)

$(h - a, k)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai

h

$h$ ,

a

$a$ , dan

k

$k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

(0 - (1), 0)

$(0 - (1), 0)$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

(- 1, 0)

$(- 1, 0)$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(1, 0)

$(1, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 1, 0)

$(- 1, 0)$

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(1, 0)

$(1, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 1, 0)

$(- 1, 0)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan

c

$c$ ke

h

$h$ .

(h + c, k)

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai

h

$h$ ,

c

$c$ , dan

k

$k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

(0 + \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(0 + \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Langkah 7.4

Titik fokus kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi

c

$c$ dari

h

$h$ .

(h - c, k)

$(h - c, k)$

Langkah 7.5

Substitusikan nilai-nilai

h

$h$ ,

c

$c$ , dan

k

$k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

(0 - (\frac{\sqrt{3}}{2}), 0)

$(0 - (\frac{\sqrt{3}}{2}), 0)$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Langkah 7.7

Elips mempunyai dua titik api.

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai

a

$a$ dan

b

$b$ ke dalam rumusnya.

\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{1}

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{1}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Bagilah

\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$ dengan

1

$1$ .

\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 8.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 8.3.3

Terapkan kaidah hasil kali ke

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 8.3.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Langkah 8.3.5

Naikkan

2

$2$ menjadi pangkat

2

$2$ .

\sqrt{1 - \frac{1}{4}}

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Langkah 8.3.6

Tuliskan

1

$1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Langkah 8.3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Langkah 8.3.8

Kurangi

1

$1$ dengan

4

$4$ .

\sqrt{\frac{3}{4}}

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Langkah 8.3.9

Tulis kembali

\sqrt{\frac{3}{4}}

$\sqrt{\frac{3}{4}}$ sebagai

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Langkah 8.3.10

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.10.1

Tulis kembali

4

$4$ sebagai

2^{2}

$2^{2}$ .

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Langkah 8.3.10.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat:

(0, 0)

$(0, 0)$

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(1, 0)

$(1, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

$(- 1, 0)$

${Focus}_{1}$ :

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ :

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Eksentrisitas:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 10

Masukkan Soal