Prakalkulus Contoh

x^{2} + 4 y^{2} = 16

$x^{2} + 4 y^{2} = 16$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku dengan

16

$16$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

\frac{x^{2}}{16} + \frac{4 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{4 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Langkah 1.2

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan

1

$1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi

1

$1$ .

\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel

a

$a$ mewakili radius sumbu panjang elips,

b

$b$ mewakili radius sumbu pendek elips,

h

$h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan

k

$k$ mewakili y-offset dari titik asal.

a = 4

$a = 4$

b = 2

$b = 2$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari

(h, k)

$(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari

h

$h$ dan

k

$k$ .

(0, 0)

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan

c

$c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

\sqrt{a^{2} - b^{2}}

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari

a

$a$ dan

b

$b$ dalam rumus.

\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan

4

$4$ menjadi pangkat

2

$2$ .

\sqrt{16 - {(2)}^{2}}

$\sqrt{16 - {(2)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Naikkan

2

$2$ menjadi pangkat

2

$2$ .

\sqrt{16 - 1 \cdot 4}

$\sqrt{16 - 1 \cdot 4}$

Langkah 5.3.3

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

4

$4$ .

\sqrt{16 - 4}

$\sqrt{16 - 4}$

Langkah 5.3.4

Kurangi

4

$4$ dengan

16

$16$ .

\sqrt{12}

$\sqrt{12}$

Langkah 5.3.5

Tulis kembali

12

$12$ sebagai

2^{2} \cdot 3

$2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Faktorkan

4

$4$ dari

12

$12$ .

\sqrt{4 (3)}

$\sqrt{4 (3)}$

Langkah 5.3.5.2

Tulis kembali

4

$4$ sebagai

2^{2}

$2^{2}$ .

\sqrt{2^{2} \cdot 3}

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

\sqrt{2^{2} \cdot 3}

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Langkah 5.3.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan

a

$a$ ke

h

$h$ .

(h + a, k)

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai

h

$h$ ,

a

$a$ , dan

k

$k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

(0 + 4, 0)

$(0 + 4, 0)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

(4, 0)

$(4, 0)$

Langkah 6.4

Puncak kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi

a

$a$ dari

h

$h$ .

(h - a, k)

$(h - a, k)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai

h

$h$ ,

a

$a$ , dan

k

$k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

(0 - (4), 0)

$(0 - (4), 0)$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(4, 0)

$(4, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(4, 0)

$(4, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan

c

$c$ ke

h

$h$ .

(h + c, k)

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai

h

$h$ ,

c

$c$ , dan

k

$k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

(0 + 2 \sqrt{3}, 0)

$(0 + 2 \sqrt{3}, 0)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

Langkah 7.4

Titik fokus kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi

c

$c$ dari

h

$h$ .

(h - c, k)

$(h - c, k)$

Langkah 7.5

Substitusikan nilai-nilai

h

$h$ ,

c

$c$ , dan

k

$k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

(0 - (2 \sqrt{3}), 0)

$(0 - (2 \sqrt{3}), 0)$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Langkah 7.7

Elips mempunyai dua titik api.

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai

a

$a$ dan

b

$b$ ke dalam rumusnya.

\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Naikkan

4

$4$ menjadi pangkat

2

$2$ .

\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}

$\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}$

Langkah 8.3.1.2

Naikkan

2

$2$ menjadi pangkat

2

$2$ .

\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}$

Langkah 8.3.1.3

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

4

$4$ .

\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}

$\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}$

Langkah 8.3.1.4

Kurangi

4

$4$ dengan

16

$16$ .

\frac{\sqrt{12}}{4}

$\frac{\sqrt{12}}{4}$

Langkah 8.3.1.5

Tulis kembali

12

$12$ sebagai

2^{2} \cdot 3

$2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.5.1

Faktorkan

4

$4$ dari

12

$12$ .

\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}$

Langkah 8.3.1.5.2

Tulis kembali

4

$4$ sebagai

2^{2}

$2^{2}$ .

\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}$

\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}$

Langkah 8.3.1.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

\frac{2 \sqrt{3}}{4}

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

\frac{2 \sqrt{3}}{4}

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Langkah 8.3.2

Hapus faktor persekutuan dari

2

$2$ dan

4

$4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Faktorkan

2

$2$ dari

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$ .

\frac{2 (\sqrt{3})}{4}

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

Langkah 8.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1

Faktorkan

2

$2$ dari

4

$4$ .

\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Langkah 8.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Langkah 8.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat:

$(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ :

$(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ :

$(- 4, 0)$

${Focus}_{1}$ :

$(2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ :

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Eksentrisitas:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 10

Masukkan Soal