Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

Langkah 1

Faktorkan $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Langkah 1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Langkah 1.1.3

Substitusikan $1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Substitusikan $1$ ke dalam polinomialnya.

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

Langkah 1.1.3.2

Naikkan $1$ menjadi pangkat $3$ .

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

Langkah 1.1.3.3

Naikkan $1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6$

Langkah 1.1.3.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$1 + 4 + 1 - 6$

Langkah 1.1.3.5

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$5 + 1 - 6$

Langkah 1.1.3.6

Tambahkan $5$ dan $1$ .

$6 - 6$

Langkah 1.1.3.7

Kurangi $6$ dengan $6$ .

$0$

Langkah 1.1.4

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}$

Langkah 1.1.5

Bagilah $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ dengan $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$6$

Langkah 1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$

Langkah 1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Langkah 1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Langkah 1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Langkah 1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

Langkah 1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $5 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

Langkah 1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Langkah 1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $5 x^{2} - 5 x$

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Langkah 1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$

Langkah 1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

Langkah 1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $6 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

Langkah 1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	-	$6$

Langkah 1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $6 x - 6$

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$

Langkah 1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$
										$0$

Langkah 1.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} + 5 x + 6$

Langkah 1.1.6

Tulis $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ sebagai himpunan faktor.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Langkah 1.2

Faktorkan $x^{2} + 5 x + 6$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $x^{2} + 5 x + 6$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $6$ dan jumlahnya $5$ .

$2, 3$

Langkah 1.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}$

Langkah 1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Langkah 2

Faktorkan $x^{2} + 5 x + 6$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $6$ dan jumlahnya $5$ .

$2, 3$

Langkah 2.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Langkah 3

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Langkah 3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Langkah 4

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Langkah 4.2

Bagilah $x - 1$ dengan $1$ .

$f (x) = x - 1$

Langkah 5

Untuk mencari lubang-lubang pada grafiknya, perhatikan faktor-faktor penyebut yang dihapus.

$x + 2, x + 3$

Langkah 6

Untuk mencari koordinat lubang-lubangnya, atur setiap faktor yang dihapus sama dengan $0$ , selesaikan, dan substitusikan kembali ke $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 6.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 6.3

Substitusikan $- 2$ untuk $x$ dalam $x - 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Substitusikan $- 2$ untuk $x$ untuk mencari koordinat $y$ dari lubangnya.

$- 2 - 1$

Langkah 6.3.2

Kurangi $1$ dengan $- 2$ .

$- 3$

Langkah 6.4

Atur $x + 3$ sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 6.5

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 6.6

Substitusikan $- 3$ untuk $x$ dalam $x - 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Substitusikan $- 3$ untuk $x$ untuk mencari koordinat $y$ dari lubangnya.

$- 3 - 1$

Langkah 6.6.2

Kurangi $1$ dengan $- 3$ .

$- 4$

Langkah 6.7

Lubang-lubang pada grafiknya adalah titik-titik di mana sebarang faktor yang dihapus sama dengan $0$ .

$(- 2, - 3), (- 3, - 4)$

Langkah 7

Masukkan Soal