Contoh

3 x - y = - 4

$3 x - y = - 4$ ,

x - 2 y = - 3

$x - 2 y = - 3$

Langkah 1

Untuk menentukan perpotongan garis yang melalui titik

(p, q, r)

$(p, q, r)$ tegak lurus terhadap bidang

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ dan bidang

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ :

1. Tentukan vektor normal bidang (Variabel0) dan bidang (Variabel1) di mana vektor normalnya adalah

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dan

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Periksa untuk memastikan bahwa hasil perkalian titiknya adalah 0.

2. Buat sebuah himpunan persamaan parametrik sedemikian rupa sehingga

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ , dan

z = r + c t

$z = r + c t$ .

3. Substitusikan persamaan-persamaan ini ke dalam persamaan untuk bidang (Variabel0) sedemikian rupa sehingga

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ dan selesaikan

t

$t$ .

4. Menggunakan nilai dari

t

$t$ , selesaikan persamaan parametrik

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ , dan

z = r + c t

$z = r + c t$ untuk

t

$t$ untuk menentukan perpotongan

(x, y, z)

$(x, y, z)$ .

Langkah 2

Tentukan vektor normal untuk setiap bidang dan tentukan apakah tegak lurus dengan menghitung hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

(Variabel0) adalah

3 x - y = - 4

$3 x - y = - 4$ . Cari vektor normal

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dari persamaan bidang bentuk

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ .

n_{1} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩

$n_{1} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩$

Langkah 2.2

(Variabel0) adalah

x - 2 y = - 3

$x - 2 y = - 3$ . Cari vektor normal

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ dari persamaan bidang bentuk

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ .

n_{2} = ⟨ 1, - 2, 0 ⟩

$n_{2} = ⟨ 1, - 2, 0 ⟩$

Langkah 2.3

Hitung hasil perkalian titik dari

n_{1}

$n_{1}$ dan

n_{2}

$n_{2}$ dengan menjumlahkan hasil kali dari nilai

$x$ ,

$y$ , dan

$z$ yang sesuai dalam vektor normal.

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Langkah 2.4

Sederhanakan hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Hilangkan tanda kurung.

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Kalikan

$3$ dengan

$1$ .

$3 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Langkah 2.4.2.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 2$ .

$3 + 2 + 0 \cdot 0$

Langkah 2.4.2.3

Kalikan

$0$ dengan

$0$ .

$3 + 2 + 0$

Langkah 2.4.3

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Tambahkan

$3$ dan

$2$ .

$5 + 0$

Langkah 2.4.3.2

Tambahkan

$5$ dan

$0$ .

$5$

Langkah 3

Selanjutnya, buat himpunan persamaan parametrik

$x = p + a t$ ,

$y = q + b t$ , dan

$z = r + c t$ menggunakan titik asal

$(0, 0, 0)$ untuk titik

$(p, q, r)$ dan nilai dari vektor normal

$5$ untuk nilai-nilai

$a$ ,

$b$ , dan

$c$ . Himpunan persamaan parametrik ini mewakili garis yang melalui asalnya yaitu tegak lurus dengan

$P_{1}$

$3 x - y = - 4$ .

$x = 0 + 3 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Langkah 4

Substitusikan pernyataan untuk

$x$ ,

$y$ , dan

$z$ ke dalam persamaan untuk

$P_{2}$

$x - 2 y = - 3$ .

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

Langkah 5

Selesaikan persamaan untuk

$t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Gabungkan suku balikan dalam

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Tambahkan

$0$ dan

$3 \cdot t$ .

$3 \cdot t - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

Langkah 5.1.1.2

Kurangi

$1 \cdot t$ dengan

$0$ .

$3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Tulis kembali

$- 1 t$ sebagai

$- t$ .

$3 t - 2 (- t) = - 3$

Langkah 5.1.2.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 2$ .

$3 t + 2 t = - 3$

Langkah 5.1.3

Tambahkan

$3 t$ dan

$2 t$ .

$5 t = - 3$

Langkah 5.2

Bagi setiap suku pada

$5 t = - 3$ dengan

$5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Bagilah setiap suku di

$5 t = - 3$ dengan

$5$ .

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

Langkah 5.2.2.1.2

Bagilah

$t$ dengan

$1$ .

$t = \frac{- 3}{5}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$t = - \frac{3}{5}$

Langkah 6

Selesaikan persamaan parametrik untuk

$x$ ,

$y$ , dan

$z$ menggunakan nilai dari

$t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Selesaikan persamaan untuk

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 0 + 3 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Langkah 6.1.2

Hilangkan tanda kurung.

$x = 0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$

Langkah 6.1.3

Sederhanakan

$0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1.1

Kalikan

$3 (- \frac{3}{5})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1.1.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$3$ .

$x = 0 - 3 (\frac{3}{5})$

Langkah 6.1.3.1.1.2

Gabungkan

$- 3$ dan

$\frac{3}{5}$ .

$x = 0 + \frac{- 3 \cdot 3}{5}$

Langkah 6.1.3.1.1.3

Kalikan

$- 3$ dengan

$3$ .

$x = 0 + \frac{- 9}{5}$

Langkah 6.1.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = 0 - \frac{9}{5}$

Langkah 6.1.3.2

Kurangi

$\frac{9}{5}$ dengan

$0$ .

$x = - \frac{9}{5}$

Langkah 6.2

Selesaikan persamaan untuk

$y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Langkah 6.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan

$0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Kalikan

$- 1 (- \frac{3}{5})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$y = 0 + 1 (\frac{3}{5})$

Langkah 6.2.3.1.2

Kalikan

$\frac{3}{5}$ dengan

$1$ .

$y = 0 + \frac{3}{5}$

Langkah 6.2.3.2

Tambahkan

$0$ dan

$\frac{3}{5}$ .

$y = \frac{3}{5}$

Langkah 6.3

Selesaikan persamaan untuk

$z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Hilangkan tanda kurung.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Langkah 6.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan

$0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Kalikan

$0 (- \frac{3}{5})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{3}{5})$

Langkah 6.3.3.1.2

Kalikan

$0$ dengan

$\frac{3}{5}$ .

$z = 0 + 0$

Langkah 6.3.3.2

Tambahkan

$0$ dan

$0$ .

$z = 0$

Langkah 6.4

Persamaan parametrik yang diselesaikan untuk

$x$ ,

$y$ , dan

$z$ .

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$z = 0$

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$z = 0$

Langkah 7

Menggunakan nilai yang dihitung untuk

$x$ ,

$y$ , dan

$z$ , titik perpotongannya ditemukan, yaitu

$(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$ .

$(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$

Masukkan Soal