Contoh
S([abc])=[2a-6b+6ca+2b+c2a+b+2c]S⎛⎜⎝⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦⎞⎟⎠=⎡⎢⎣2a−6b+6ca+2b+c2a+b+2c⎤⎥⎦
Langkah 1
Kernel dari transformasi adalah vektor yang membuat transformasinya sama dengan vektor nol (prabayangan dari transformasi).
[2a-6b+6ca+2b+c2a+b+2c]=0⎡⎢⎣2a−6b+6ca+2b+c2a+b+2c⎤⎥⎦=0
Langkah 2
Buat sistem persamaan dari persamaan vektor.
2a-6b+6c=02a−6b+6c=0
a+2b+c=0a+2b+c=0
2a+b+2c=02a+b+2c=0
Langkah 3
Tulis sistem sebagai matriks.
[2-66012102120]⎡⎢
⎢⎣2−66012102120⎤⎥
⎥⎦
Langkah 4
Langkah 4.1
Kalikan setiap elemen R1R1 dengan 1212 untuk membuat entri pada 1,11,1 menjadi 11.
Langkah 4.1.1
Kalikan setiap elemen R1R1 dengan 1212 untuk membuat entri pada 1,11,1 menjadi 11.
[22-62620212102120]⎡⎢
⎢
⎢⎣22−62620212102120⎤⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 4.1.2
Sederhanakan R1R1.
[1-33012102120]⎡⎢
⎢⎣1−33012102120⎤⎥
⎥⎦
[1-33012102120]⎡⎢
⎢⎣1−33012102120⎤⎥
⎥⎦
Langkah 4.2
Lakukan operasi baris R2=R2-R1R2=R2−R1 untuk membuat entri di 2,12,1 menjadi 00.
Langkah 4.2.1
Lakukan operasi baris R2=R2-R1R2=R2−R1 untuk membuat entri di 2,12,1 menjadi 00.
[1-3301-12+31-30-02120]⎡⎢
⎢⎣1−3301−12+31−30−02120⎤⎥
⎥⎦
Langkah 4.2.2
Sederhanakan R2R2.
[1-33005-202120]⎡⎢
⎢⎣1−33005−202120⎤⎥
⎥⎦
[1-33005-202120]⎡⎢
⎢⎣1−33005−202120⎤⎥
⎥⎦
Langkah 4.3
Lakukan operasi baris R3=R3-2R1R3=R3−2R1 untuk membuat entri di 3,13,1 menjadi 00.
Langkah 4.3.1
Lakukan operasi baris R3=R3-2R1R3=R3−2R1 untuk membuat entri di 3,13,1 menjadi 00.
[1-33005-202-2⋅11-2⋅-32-2⋅30-2⋅0]⎡⎢
⎢⎣1−33005−202−2⋅11−2⋅−32−2⋅30−2⋅0⎤⎥
⎥⎦
Langkah 4.3.2
Sederhanakan R3R3.
[1-33005-2007-40]⎡⎢
⎢⎣1−33005−2007−40⎤⎥
⎥⎦
[1-33005-2007-40]⎡⎢
⎢⎣1−33005−2007−40⎤⎥
⎥⎦
Langkah 4.4
Kalikan setiap elemen R2R2 dengan 1515 untuk membuat entri pada 2,22,2 menjadi 11.
Langkah 4.4.1
Kalikan setiap elemen R2R2 dengan 1515 untuk membuat entri pada 2,22,2 menjadi 11.
[1-3300555-250507-40]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−3300555−250507−40⎤⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 4.4.2
Sederhanakan R2R2.
[1-33001-25007-40]⎡⎢
⎢⎣1−33001−25007−40⎤⎥
⎥⎦
[1-33001-25007-40]⎡⎢
⎢⎣1−33001−25007−40⎤⎥
⎥⎦
Langkah 4.5
Lakukan operasi baris R3=R3-7R2R3=R3−7R2 untuk membuat entri di 3,23,2 menjadi 00.
Langkah 4.5.1
Lakukan operasi baris R3=R3-7R2R3=R3−7R2 untuk membuat entri di 3,23,2 menjadi 00.
[1-33001-2500-7⋅07-7⋅1-4-7(-25)0-7⋅0]⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣1−33001−2500−7⋅07−7⋅1−4−7(−25)0−7⋅0⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 4.5.2
Sederhanakan R3R3.
[1-33001-25000-650]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−33001−25000−650⎤⎥
⎥
⎥⎦
[1-33001-25000-650]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−33001−25000−650⎤⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 4.6
Kalikan setiap elemen R3R3 dengan -56−56 untuk membuat entri pada 3,33,3 menjadi 11.
Langkah 4.6.1
Kalikan setiap elemen R3R3 dengan -56−56 untuk membuat entri pada 3,33,3 menjadi 11.
[1-33001-250-56⋅0-56⋅0-56(-65)-56⋅0]⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣1−33001−250−56⋅0−56⋅0−56(−65)−56⋅0⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 4.6.2
Sederhanakan R3R3.
[1-33001-2500010]⎡⎢
⎢⎣1−33001−2500010⎤⎥
⎥⎦
[1-33001-2500010]⎡⎢
⎢⎣1−33001−2500010⎤⎥
⎥⎦
Langkah 4.7
Lakukan operasi baris R2=R2+25R3R2=R2+25R3 untuk membuat entri di 2,32,3 menjadi 00.
Langkah 4.7.1
Lakukan operasi baris R2=R2+25R3R2=R2+25R3 untuk membuat entri di 2,32,3 menjadi 00.
[1-3300+25⋅01+25⋅0-25+25⋅10+25⋅00010]⎡⎢
⎢⎣1−3300+25⋅01+25⋅0−25+25⋅10+25⋅00010⎤⎥
⎥⎦
Langkah 4.7.2
Sederhanakan R2R2.
[1-33001000010]⎡⎢
⎢⎣1−33001000010⎤⎥
⎥⎦
[1-33001000010]⎡⎢
⎢⎣1−33001000010⎤⎥
⎥⎦
Langkah 4.8
Lakukan operasi baris R1=R1-3R3R1=R1−3R3 untuk membuat entri di 1,31,3 menjadi 00.
Langkah 4.8.1
Lakukan operasi baris R1=R1-3R3R1=R1−3R3 untuk membuat entri di 1,31,3 menjadi 00.
[1-3⋅0-3-3⋅03-3⋅10-3⋅001000010]⎡⎢
⎢⎣1−3⋅0−3−3⋅03−3⋅10−3⋅001000010⎤⎥
⎥⎦
Langkah 4.8.2
Sederhanakan R1R1.
[1-30001000010]⎡⎢
⎢⎣1−30001000010⎤⎥
⎥⎦
[1-30001000010]⎡⎢
⎢⎣1−30001000010⎤⎥
⎥⎦
Langkah 4.9
Lakukan operasi baris R1=R1+3R2R1=R1+3R2 untuk membuat entri di 1,21,2 menjadi 00.
Langkah 4.9.1
Lakukan operasi baris R1=R1+3R2R1=R1+3R2 untuk membuat entri di 1,21,2 menjadi 00.
[1+3⋅0-3+3⋅10+3⋅00+3⋅001000010]⎡⎢
⎢⎣1+3⋅0−3+3⋅10+3⋅00+3⋅001000010⎤⎥
⎥⎦
Langkah 4.9.2
Sederhanakan R1R1.
[100001000010]⎡⎢
⎢⎣100001000010⎤⎥
⎥⎦
[100001000010]⎡⎢
⎢⎣100001000010⎤⎥
⎥⎦
[100001000010]⎡⎢
⎢⎣100001000010⎤⎥
⎥⎦
Langkah 5
Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir sistem persamaan tersebut.
a=0a=0
b=0b=0
c=0c=0
Langkah 6
Tulis vektor penyelesaian dengan menyelesaikan dalam suku dari variabel bebas dalam setiap baris.
[abc]=[000]⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦=⎡⎢⎣000⎤⎥⎦
Langkah 7
Tulis sebagai himpunan penyelesaian.
{[000]}⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣000⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭
Langkah 8
Kernel dari SS adalah subruang {[000]}⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣000⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭.
K(S)={[000]}K(S)=⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣000⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭
