Aljabar Linear Contoh

a = [\begin{matrix} 2 & 3 & 2 \end{matrix}]

$a = [\begin{array}{c} 2 & 3 & 2 \end{array}]$ ,

b = [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

$b = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 1

Temukan hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Hasil perkalian titik dari dua vektor adalah jumlah dari komponennya.

a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Kalikan

2

$2$ dengan

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

Langkah 1.2.1.2

Kalikan

3

$3$ dengan

2

$2$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2 \cdot 1

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2 \cdot 1$

Langkah 1.2.1.3

Kalikan

2

$2$ dengan

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2$

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2$

Langkah 1.2.2

Tambahkan

2

$2$ dan

6

$6$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 8 + 2

$a⃗ \cdot b⃗ = 8 + 2$

Langkah 1.2.3

Tambahkan

8

$8$ dan

2

$2$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 10

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

a⃗ \cdot b⃗ = 10

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

a⃗ \cdot b⃗ = 10

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

Langkah 2

Tentukan norma dari

b⃗ = [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

$b⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Norma adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat setiap elemen di vektor.

| | b⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}

$| | b⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 2^{2} + 1^{2}}

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 2^{2} + 1^{2}}$

Langkah 2.2.2

Naikkan

2

$2$ menjadi pangkat

2

$2$ .

| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1^{2}}

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1^{2}}$

Langkah 2.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1}

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1}$

Langkah 2.2.4

Tambahkan

1

$1$ dan

4

$4$ .

| | b⃗ | | = \sqrt{5 + 1}

$| | b⃗ | | = \sqrt{5 + 1}$

Langkah 2.2.5

Tambahkan

5

$5$ dan

1

$1$ .

| | b⃗ | | = \sqrt{6}

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

| | b⃗ | | = \sqrt{6}

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

| | b⃗ | | = \sqrt{6}

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

Langkah 3

Tentukan proyeksi

a⃗

$a⃗$ pada

b⃗

$b⃗$ menggunakan rumus proyeksi.

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{a⃗ \cdot b⃗}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{a⃗ \cdot b⃗}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

Langkah 4

Substitusikan

10

$10$ untuk

a⃗ \cdot b⃗

$a⃗ \cdot b⃗$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

Langkah 5

Substitusikan

\sqrt{6}

$\sqrt{6}$ untuk

| | b⃗ | |

$| | b⃗ | |$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times b⃗

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times b⃗$

Langkah 6

Substitusikan

[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ untuk

b⃗

$b⃗$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 7

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali

{\sqrt{6}}^{2}

${\sqrt{6}}^{2}$ sebagai

6

$6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Gunakan

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

\sqrt{6}

$\sqrt{6}$ sebagai

6^{\frac{1}{2}}

$6^{\frac{1}{2}}$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 7.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 7.1.3

Gabungkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dan

2

$2$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 7.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 7.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 7.1.5

Evaluasi eksponennya.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 7.2

Hapus faktor persekutuan dari

$10$ dan

$6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Faktorkan

$2$ dari

$10$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 (5)}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Faktorkan

$2$ dari

$6$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 7.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 7.3

Kalikan

$\frac{5}{3}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} \cdot 1 & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 7.4

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan

$\frac{5}{3}$ dengan

$1$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 7.4.2

Kalikan

$\frac{5}{3} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Gabungkan

$\frac{5}{3}$ dan

$2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5 \cdot 2}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 7.4.2.2

Kalikan

$5$ dengan

$2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 7.4.3

Kalikan

$\frac{5}{3}$ dengan

$1$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]$

Masukkan Soal