Aljabar Linear Contoh

$a = [\begin{array}{c} 2 & 3 & 2 \end{array}]$ , $b = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 1

Temukan hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Hasil perkalian titik dari dua vektor adalah jumlah dari komponennya.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

Langkah 1.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2 \cdot 1$

Langkah 1.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2$

Langkah 1.2.2

Tambahkan $2$ dan $6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 8 + 2$

Langkah 1.2.3

Tambahkan $8$ dan $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

Langkah 2

Tentukan norma dari $b⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Norma adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat setiap elemen di vektor.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 2^{2} + 1^{2}}$

Langkah 2.2.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1^{2}}$

Langkah 2.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1}$

Langkah 2.2.4

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$| | b⃗ | | = \sqrt{5 + 1}$

Langkah 2.2.5

Tambahkan $5$ dan $1$ .

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

Langkah 3

Tentukan proyeksi $a⃗$ pada $b⃗$ menggunakan rumus proyeksi.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{a⃗ \cdot b⃗}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

Langkah 4

Substitusikan $10$ untuk $a⃗ \cdot b⃗$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

Langkah 5

Substitusikan $\sqrt{6}$ untuk $| | b⃗ | |$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times b⃗$

Langkah 6

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ untuk $b⃗$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 7

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali ${\sqrt{6}}^{2}$ sebagai $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{6}$ sebagai $6^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 7.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 7.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 7.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 7.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 7.1.5

Evaluasi eksponennya.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 7.2

Hapus faktor persekutuan dari $10$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 (5)}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 7.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 7.3

Kalikan $\frac{5}{3}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} \cdot 1 & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 7.4

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan $\frac{5}{3}$ dengan $1$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 7.4.2

Kalikan $\frac{5}{3} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Gabungkan $\frac{5}{3}$ dan $2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5 \cdot 2}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 7.4.2.2

Kalikan $5$ dengan $2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 7.4.3

Kalikan $\frac{5}{3}$ dengan $1$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]$

Masukkan Soal