Aljabar Linear Contoh

$(2, 0, 1)$ , $(- 2, 1, 1)$

Langkah 1

Gunakan rumus hasil kali silang untuk menentukan sudut di antara dua vektor.

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Langkah 2

Temukan hasil kalinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Hasil kali silang dua vektor $a⃗$ dan $b⃗$ dapat ditulis sebagai determinan dengan vektor satuan standar dari $ℝ^{3}$ dan elemen-elemen dari vektor yang diberikan.

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Langkah 2.2

Atur determinannya dengan nilai-nilai yang diberikan.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 2 & 0 & 1 \\ - 2 & 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 2.3

Pilih baris atau kolom dengan elemen $0$ paling banyak. Jika tidak ada elemen $0$ , pilih sebarang baris atau kolom. Kalikan setiap elemen di baris $1$ dengan kofaktornya dan tambahkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Pertimbangkan grafik tanda yang sesuai.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 2.3.2

Kofaktornya minor dengan tanda yang diubah jika indeksnya cocok dengan posisi $-$ di grafik tanda.

Langkah 2.3.3

Minor untuk $a_{11}$ adalah determinan dengan baris $1$ dan kolom $1$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 2.3.4

Kalikan elemen $a_{11}$ dengan kofaktornya.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î$

Langkah 2.3.5

Minor untuk $a_{12}$ adalah determinan dengan baris $1$ dan kolom $2$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Langkah 2.3.6

Kalikan elemen $a_{12}$ dengan kofaktornya.

$- | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ$

Langkah 2.3.7

Minor untuk $a_{13}$ adalah determinan dengan baris $1$ dan kolom $3$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Langkah 2.3.8

Kalikan elemen $a_{13}$ dengan kofaktornya.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Langkah 2.3.9

Tambahkan semua sukunya.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Langkah 2.4

Evaluasi $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.1

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Langkah 2.4.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Langkah 2.4.2.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Langkah 2.5

Evaluasi $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Langkah 2.5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Langkah 2.5.2.1.2

Kalikan $- (- 2 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - - 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Langkah 2.5.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 + 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Langkah 2.5.2.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Langkah 2.6

Evaluasi $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

Langkah 2.6.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

Langkah 2.6.2.1.2

Kalikan $- (- 2 \cdot 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - 0) k̂$

Langkah 2.6.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 + 0) k̂$

Langkah 2.6.2.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + 2 k̂$

Langkah 2.7

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 4 ĵ + 2 k̂$

Langkah 2.8

Tulis kembali jawabannya.

$a⃗ \times b⃗ = (- 1, - 4, 2)$

Langkah 3

Tentukan nilai mutlak dari hasil kalinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Norma adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat setiap elemen di vektor.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

Langkah 3.2.2

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 2^{2}}$

Langkah 3.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 4}$

Langkah 3.2.4

Tambahkan $1$ dan $16$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{17 + 4}$

Langkah 3.2.5

Tambahkan $17$ dan $4$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{21}$

Langkah 4

Tentukan besaran dari $a⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Norma adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat setiap elemen di vektor.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 0^{2} + 1^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2} + 1^{2}}$

Langkah 4.2.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1^{2}}$

Langkah 4.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1}$

Langkah 4.2.4

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Langkah 4.2.5

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Langkah 5

Tentukan besaran dari $b⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Norma adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat setiap elemen di vektor.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2} + 1^{2}}$

Langkah 5.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1^{2}}$

Langkah 5.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1}$

Langkah 5.2.4

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5 + 1}$

Langkah 5.2.5

Tambahkan $5$ dan $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{6}$

Langkah 6

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{5} \sqrt{6}})$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $\sqrt{21}$ dan $\sqrt{6}$ ke dalam akar tunggal.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{21}{6}}}{\sqrt{5}})$

Langkah 7.2

Hapus faktor persekutuan dari $21$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Faktorkan $3$ dari $21$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 (7)}{6}}}{\sqrt{5}})$

Langkah 7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Langkah 7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Langkah 7.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{7}{2}}}{\sqrt{5}})$

Langkah 7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{7}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Langkah 7.3.2

Kalikan $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Langkah 7.3.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.1

Kalikan $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Langkah 7.3.3.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Langkah 7.3.3.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}{\sqrt{5}})$

Langkah 7.3.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{\sqrt{5}})$

Langkah 7.3.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{5}})$

Langkah 7.3.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}})$

Langkah 7.3.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Langkah 7.3.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

Langkah 7.3.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

Langkah 7.3.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{1}}}{\sqrt{5}})$

Langkah 7.3.3.6.5

Evaluasi eksponennya.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}})$

Langkah 7.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.4.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7 \cdot 2}}{2}}{\sqrt{5}})$

Langkah 7.3.4.2

Kalikan $7$ dengan $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{14}}{2}}{\sqrt{5}})$

Langkah 7.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}})$

Langkah 7.5

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}))$

Langkah 7.6

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Langkah 7.6.2

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Langkah 7.6.3

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Langkah 7.6.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Langkah 7.6.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Langkah 7.6.6

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Langkah 7.6.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Langkah 7.6.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 7.6.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 7.6.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

Langkah 7.6.6.5

Evaluasi eksponennya.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5})$

Langkah 7.7

Kalikan $\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.1

Kalikan $\frac{\sqrt{14}}{2}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14} \sqrt{5}}{2 \cdot 5})$

Langkah 7.7.2

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14 \cdot 5}}{2 \cdot 5})$

Langkah 7.7.3

Kalikan $14$ dengan $5$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{2 \cdot 5})$

Langkah 7.7.4

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$

Langkah 7.8

Evaluasi $\arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$ .

$θ = 56.78908923$

Masukkan Soal