Aljabar Linear Contoh

(1, - 1, 2)

$(1, - 1, 2)$ ,

$(0, 3, 1)$

Langkah 1

Gunakan rumus hasil kali silang untuk menentukan sudut di antara dua vektor.

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Langkah 2

Temukan hasil kalinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Hasil kali silang dua vektor

$a⃗$ dan

$b⃗$ dapat ditulis sebagai determinan dengan vektor satuan standar dari

$ℝ^{3}$ dan elemen-elemen dari vektor yang diberikan.

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Langkah 2.2

Atur determinannya dengan nilai-nilai yang diberikan.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{array} |$

Langkah 2.3

Pilih baris atau kolom dengan elemen

$0$ paling banyak. Jika tidak ada elemen

$0$ , pilih sebarang baris atau kolom. Kalikan setiap elemen di baris

$1$ dengan kofaktornya dan tambahkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Pertimbangkan grafik tanda yang sesuai.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 2.3.2

Kofaktornya minor dengan tanda yang diubah jika indeksnya cocok dengan posisi

$-$ di grafik tanda.

Langkah 2.3.3

Minor untuk

$a_{11}$ adalah determinan dengan baris

$1$ dan kolom

$1$ dihapus.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$

Langkah 2.3.4

Kalikan elemen

$a_{11}$ dengan kofaktornya.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î$

Langkah 2.3.5

Minor untuk

$a_{12}$ adalah determinan dengan baris

$1$ dan kolom

$2$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Langkah 2.3.6

Kalikan elemen

$a_{12}$ dengan kofaktornya.

$- | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ$

Langkah 2.3.7

Minor untuk

$a_{13}$ adalah determinan dengan baris

$1$ dan kolom

$3$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$

Langkah 2.3.8

Kalikan elemen

$a_{13}$ dengan kofaktornya.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Langkah 2.3.9

Tambahkan semua sukunya.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Langkah 2.4

Evaluasi

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Langkah 2.4.2.1.2

Kalikan

$- 3$ dengan

$2$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 6) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Langkah 2.4.2.2

Kurangi

$6$ dengan

$- 1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Langkah 2.5

Evaluasi

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 \cdot 1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Langkah 2.5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1.1

Kalikan

$1$ dengan

$1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Langkah 2.5.2.1.2

Kalikan

$0$ dengan

$2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Langkah 2.5.2.2

Tambahkan

$1$ dan

$0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Langkah 2.6

Evaluasi

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (1 \cdot 3 + 0 \cdot - 1) k̂$

Langkah 2.6.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1.1

Kalikan

$3$ dengan

$1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0 \cdot - 1) k̂$

Langkah 2.6.2.1.2

Kalikan

$0$ dengan

$- 1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0) k̂$

Langkah 2.6.2.2

Tambahkan

$3$ dan

$0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + 3 k̂$

Langkah 2.7

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - ĵ + 3 k̂$

Langkah 2.8

Tulis kembali jawabannya.

$a⃗ \times b⃗ = (- 7, - 1, 3)$

Langkah 3

Tentukan nilai mutlak dari hasil kalinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Norma adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat setiap elemen di vektor.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Naikkan

$- 7$ menjadi pangkat

$2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

Langkah 3.2.2

Naikkan

$- 1$ menjadi pangkat

$2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 3^{2}}$

Langkah 3.2.3

Naikkan

$3$ menjadi pangkat

$2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 9}$

Langkah 3.2.4

Tambahkan

$49$ dan

$1$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{50 + 9}$

Langkah 3.2.5

Tambahkan

$50$ dan

$9$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{59}$

Langkah 4

Tentukan besaran dari

$a⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Norma adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat setiap elemen di vektor.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

Langkah 4.2.2

Naikkan

$- 1$ menjadi pangkat

$2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 2^{2}}$

Langkah 4.2.3

Naikkan

$2$ menjadi pangkat

$2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 4}$

Langkah 4.2.4

Tambahkan

$1$ dan

$1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2 + 4}$

Langkah 4.2.5

Tambahkan

$2$ dan

$4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{6}$

Langkah 5

Tentukan besaran dari

$b⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Norma adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat setiap elemen di vektor.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 1^{2}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Menaikkan

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

$0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 3^{2} + 1^{2}}$

Langkah 5.2.2

Naikkan

$3$ menjadi pangkat

$2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1^{2}}$

Langkah 5.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1}$

Langkah 5.2.4

Tambahkan

$0$ dan

$9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

Langkah 5.2.5

Tambahkan

$9$ dan

$1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

Langkah 6

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6} \sqrt{10}})$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6 \cdot 10}})$

Langkah 7.1.2

Kalikan

$6$ dengan

$10$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{60}})$

Langkah 7.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis kembali

$60$ sebagai

$2^{2} \cdot 15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Faktorkan

$4$ dari

$60$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{4 (15)}})$

Langkah 7.2.1.2

Tulis kembali

$4$ sebagai

$2^{2}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}})$

Langkah 7.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}})$

Langkah 7.3

Kalikan

$\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ dengan

$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Langkah 7.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan

$\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ dengan

$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \sqrt{15} \sqrt{15}})$

Langkah 7.4.2

Pindahkan

$\sqrt{15}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

Langkah 7.4.3

Naikkan

$\sqrt{15}$ menjadi pangkat

$1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})})$

Langkah 7.4.4

Naikkan

$\sqrt{15}$ menjadi pangkat

$1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})})$

Langkah 7.4.5

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{1 + 1}})$

Langkah 7.4.6

Tambahkan

$1$ dan

$1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{2}})$

Langkah 7.4.7

Tulis kembali

${\sqrt{15}}^{2}$ sebagai

$15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.7.1

Gunakan

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

$\sqrt{15}$ sebagai

$15^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Langkah 7.4.7.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Langkah 7.4.7.3

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 7.4.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 7.4.7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{1}})$

Langkah 7.4.7.5

Evaluasi eksponennya.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

Langkah 7.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59 \cdot 15}}{2 \cdot 15})$

Langkah 7.5.2

Kalikan

$59$ dengan

$15$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{2 \cdot 15})$

Langkah 7.6

Kalikan

$2$ dengan

$15$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$

Langkah 7.7

Evaluasi

$\arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$ .

$θ = 82.5824442$

Masukkan Soal