Aljabar Linear Contoh

$(1, 1, 1)$ , $(0, 1, 1)$ , $(0, 0, 1)$

Langkah 1

Tetapkan nama untuk setiap vektor.

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

${u⃗}_{3} = (0, 0, 1)$

Langkah 2

Vektor ortogonal pertama adalah vektor pertama dalam himpunan vektor yang diberikan.

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

Langkah 3

Gunakan rumus untuk menentukan vektor ortogonal lainnya.

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

Langkah 4

Tentukan vektor ortogonal ${v⃗}_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan rumus untuk menentukan ${v⃗}_{2}$ .

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Langkah 4.2

Substitusikan $(0, 1, 1)$ untuk ${u⃗}_{2}$ .

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Langkah 4.3

Temukan ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Temukan hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Hasil perkalian titik dari dua vektor adalah jumlah dari komponennya.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Langkah 4.3.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.2.1.1

Kalikan $0$ dengan $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Langkah 4.3.1.2.1.2

Kalikan $1$ dengan $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

Langkah 4.3.1.2.1.3

Kalikan $1$ dengan $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

Langkah 4.3.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

Langkah 4.3.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

Langkah 4.3.2

Tentukan norma dari ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Norma adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat setiap elemen di vektor.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Langkah 4.3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Langkah 4.3.2.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Langkah 4.3.2.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Langkah 4.3.2.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Langkah 4.3.2.2.5

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Langkah 4.3.3

Tentukan proyeksi ${u⃗}_{2}$ pada ${v⃗}_{1}$ menggunakan rumus proyeksi.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Langkah 4.3.4

Substitusikan $2$ untuk ${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Langkah 4.3.5

Substitusikan $\sqrt{3}$ untuk $| | {v⃗}_{1} | |$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Langkah 4.3.6

Substitusikan $(1, 1, 1)$ untuk ${v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Langkah 4.3.7

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Langkah 4.3.7.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Langkah 4.3.7.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Langkah 4.3.7.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Langkah 4.3.7.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Langkah 4.3.7.1.5

Evaluasi eksponennya.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

Langkah 4.3.7.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Langkah 4.3.7.3

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.3.1

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Langkah 4.3.7.3.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Langkah 4.3.7.3.3

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Langkah 4.4

Substitusikan proyeksinya.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Langkah 4.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Gabungkan setiap komponen pada vektor tersebut.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Langkah 4.5.2

Kurangi $\frac{2}{3}$ dengan $0$ .

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Langkah 4.5.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Langkah 4.5.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Langkah 4.5.5

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Langkah 4.5.6

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Langkah 4.5.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

Langkah 4.5.8

Kurangi $2$ dengan $3$ .

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Langkah 5

Tentukan vektor ortogonal ${v⃗}_{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gunakan rumus untuk menentukan ${v⃗}_{3}$ .

${v⃗}_{3} = {u⃗}_{3} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

Langkah 5.2

Substitusikan $(0, 0, 1)$ untuk ${u⃗}_{3}$ .

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

Langkah 5.3

Temukan ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Temukan hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Hasil perkalian titik dari dua vektor adalah jumlah dari komponennya.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Langkah 5.3.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.1.1

Kalikan $0$ dengan $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Langkah 5.3.1.2.1.2

Kalikan $0$ dengan $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1 \cdot 1$

Langkah 5.3.1.2.1.3

Kalikan $1$ dengan $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1$

Langkah 5.3.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1$

Langkah 5.3.1.2.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 1$

Langkah 5.3.2

Tentukan norma dari ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Norma adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat setiap elemen di vektor.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Langkah 5.3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Langkah 5.3.2.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Langkah 5.3.2.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Langkah 5.3.2.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Langkah 5.3.2.2.5

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Langkah 5.3.3

Tentukan proyeksi ${u⃗}_{3}$ pada ${v⃗}_{1}$ menggunakan rumus proyeksi.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Langkah 5.3.4

Substitusikan $1$ untuk ${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Langkah 5.3.5

Substitusikan $\sqrt{3}$ untuk $| | {v⃗}_{1} | |$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Langkah 5.3.6

Substitusikan $(1, 1, 1)$ untuk ${v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Langkah 5.3.7

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.1

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Langkah 5.3.7.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Langkah 5.3.7.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Langkah 5.3.7.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Langkah 5.3.7.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Langkah 5.3.7.1.5

Evaluasi eksponennya.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \times (1, 1, 1)$

Langkah 5.3.7.2

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Langkah 5.3.7.3

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.3.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Langkah 5.3.7.3.2

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Langkah 5.3.7.3.3

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Langkah 5.4

Temukan ${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Temukan hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Hasil perkalian titik dari dua vektor adalah jumlah dari komponennya.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (- \frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Langkah 5.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.2.1.1

Kalikan $0 (- \frac{2}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.2.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (\frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Langkah 5.4.1.2.1.1.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{2}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Langkah 5.4.1.2.1.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{1}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + 1 (\frac{1}{3})$

Langkah 5.4.1.2.1.3

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + \frac{1}{3}$

Langkah 5.4.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + \frac{1}{3}$

Langkah 5.4.1.2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = \frac{1}{3}$

Langkah 5.4.2

Tentukan norma dari ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Norma adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat setiap elemen di vektor.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 5.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{2}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 5.4.2.2.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 5.4.2.2.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 5.4.2.2.3

Kalikan $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ dengan $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 5.4.2.2.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 5.4.2.2.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 5.4.2.2.6

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 5.4.2.2.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 5.4.2.2.8

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 5.4.2.2.9

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Langkah 5.4.2.2.10

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Langkah 5.4.2.2.11

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Langkah 5.4.2.2.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Langkah 5.4.2.2.13

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Langkah 5.4.2.2.14

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Langkah 5.4.2.2.15

Tambahkan $5$ dan $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{6}{9}}$

Langkah 5.4.2.2.16

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.16.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Langkah 5.4.2.2.16.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.16.2.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Langkah 5.4.2.2.16.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Langkah 5.4.2.2.16.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2}{3}}$

Langkah 5.4.2.2.17

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Langkah 5.4.2.2.18

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 5.4.2.2.19

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.19.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 5.4.2.2.19.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Langkah 5.4.2.2.19.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Langkah 5.4.2.2.19.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 5.4.2.2.19.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 5.4.2.2.19.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.19.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 5.4.2.2.19.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 5.4.2.2.19.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.4.2.2.19.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.19.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.4.2.2.19.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Langkah 5.4.2.2.19.6.5

Evaluasi eksponennya.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Langkah 5.4.2.2.20

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.20.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Langkah 5.4.2.2.20.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Langkah 5.4.3

Tentukan proyeksi ${u⃗}_{3}$ pada ${v⃗}_{2}$ menggunakan rumus proyeksi.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Langkah 5.4.4

Substitusikan $\frac{1}{3}$ untuk ${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Langkah 5.4.5

Substitusikan $\frac{\sqrt{6}}{3}$ untuk $| | {v⃗}_{2} | |$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Langkah 5.4.6

Substitusikan $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ untuk ${v⃗}_{2}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.7.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.7.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.1.2

Tulis kembali ${\sqrt{6}}^{2}$ sebagai $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.7.1.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{6}$ sebagai $6^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.1.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.1.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.7.1.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.1.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{1}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.1.2.5

Evaluasi eksponennya.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.7.1.4.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 (2)}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.7.1.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.7.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.4

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} (- \frac{2}{3}), \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.5

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.7.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.7.5.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2}{3}$ ke dalam pembilangnya.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.5.1.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.5.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.5.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{- 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.5.3

Kalikan $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.7.5.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2 \cdot 3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.5.3.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Langkah 5.4.7.5.4

Kalikan $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.7.5.4.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2 \cdot 3})$

Langkah 5.4.7.5.4.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Langkah 5.5

Substitusikan proyeksinya.

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Gabungkan setiap komponen pada vektor tersebut.

$(0 - (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}), 1 - (\frac{1}{3})) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Langkah 5.6.2

Gabungkan setiap komponen pada vektor tersebut.

$(0 - (\frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.3

Kalikan $- (- \frac{1}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$(0 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.3.2

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$(0 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.4.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$(\frac{- 1 + 1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.4.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.4.2.1

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$(\frac{0}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.4.2.2

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$(0, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.5

Kalikan $- 1$ dengan $\frac{1}{6}$ .

$(0, 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.6

Kurangi $\frac{1}{3}$ dengan $0$ .

$(0, - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.7

Untuk menuliskan $- \frac{1}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.8

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.8.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.8.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$(0, - \frac{2}{6} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.9.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$(0, \frac{- 2 - 1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.9.2

Kurangi $1$ dengan $- 2$ .

$(0, \frac{- 3}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.10

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.10.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$(0, \frac{3 (- 1)}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.10.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(0, \frac{- 1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$(0, - \frac{1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.12

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.12.1

Tulis $1$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.12.2

Kalikan $\frac{1}{1}$ dengan $\frac{6}{6}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} \cdot \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.12.3

Kalikan $\frac{1}{1}$ dengan $\frac{6}{6}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.12.4

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}) - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.12.5

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.12.6

Susun kembali faktor-faktor dari $3 \cdot 2$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{2 \cdot 3} - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.12.7

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{6} - (\frac{1}{6}))$

Langkah 5.6.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6 - 2 - 1}{6})$

Langkah 5.6.14

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.14.1

Kurangi $2$ dengan $6$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{4 - 1}{6})$

Langkah 5.6.14.2

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3}{6})$

Langkah 5.6.15

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.15.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 (1)}{6})$

Langkah 5.6.15.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.15.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

Langkah 5.6.15.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

Langkah 5.6.15.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Langkah 6

Tentukan basis ortonormal dengan membagi setiap vektor ortogonal dengan normanya.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}, \frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}}$

Langkah 7

Tentukan vektor satuan $\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ di mana ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Untuk menemukan vektor satuan yang searah dengan vektor $v⃗$ , kalikan $v⃗$ salinan dari matriks.

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Langkah 7.2

Norma adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat setiap elemen di vektor.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Langkah 7.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Langkah 7.3.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

Langkah 7.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\sqrt{2 + 1}$

Langkah 7.3.5

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\sqrt{3}$

Langkah 7.4

Bagi vektor dengan normanya.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

Langkah 7.5

Bagi setiap elemen di vektor dengan $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

Langkah 8

Tentukan vektor satuan $\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ di mana ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Untuk menemukan vektor satuan yang searah dengan vektor $v⃗$ , kalikan $v⃗$ salinan dari matriks.

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Langkah 8.2

Norma adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat setiap elemen di vektor.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 8.3.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 8.3.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 8.3.3

Kalikan $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ dengan $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 8.3.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 8.3.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 8.3.6

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 8.3.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 8.3.8

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 8.3.9

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Langkah 8.3.10

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Langkah 8.3.11

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Langkah 8.3.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Langkah 8.3.13

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Langkah 8.3.14

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Langkah 8.3.15

Tambahkan $5$ dan $1$ .

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

Langkah 8.3.16

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.16.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Langkah 8.3.16.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.16.2.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Langkah 8.3.16.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Langkah 8.3.16.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Langkah 8.3.17

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Langkah 8.4

Bagi vektor dengan normanya.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Langkah 8.5

Bagi setiap elemen di vektor dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Langkah 8.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Langkah 8.6.2

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Langkah 8.6.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{3}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Langkah 8.6.4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\sqrt{2}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Langkah 8.6.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Langkah 8.6.6

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Langkah 8.6.7

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Langkah 8.6.8

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

Langkah 9

Tentukan vektor satuan $\frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}$ di mana ${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Untuk menemukan vektor satuan yang searah dengan vektor $v⃗$ , kalikan $v⃗$ salinan dari matriks.

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Langkah 9.2

Norma adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat setiap elemen di vektor.

$\sqrt{0^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\sqrt{0 + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 9.3.2

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 9.3.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 9.3.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{0 + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 9.3.4

Kalikan $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$\sqrt{0 + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 9.3.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{0 + \frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 9.3.6

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 9.3.7

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 9.3.8

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

Langkah 9.3.9

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Langkah 9.3.10

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Langkah 9.3.11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

Langkah 9.3.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\sqrt{\frac{2}{4}}$

Langkah 9.3.13

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.13.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

Langkah 9.3.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.13.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Langkah 9.3.13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Langkah 9.3.13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

Langkah 9.3.14

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Langkah 9.3.15

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Langkah 9.4

Bagi vektor dengan normanya.

$\frac{(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Langkah 9.5

Bagi setiap elemen di vektor dengan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$(\frac{0}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Langkah 9.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.6.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$(0 \sqrt{2}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Langkah 9.6.2

Kalikan $0$ dengan $\sqrt{2}$ .

$(0, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Langkah 9.6.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$(0, - \frac{1}{2} \sqrt{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Langkah 9.6.4

Gabungkan $\sqrt{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Langkah 9.6.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \sqrt{2})$

Langkah 9.6.6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{2}$ .

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 10

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}), (0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})}$

Masukkan Soal