Aljabar Linear Contoh

$S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1)}$

Langkah 1

Tetapkan nama untuk setiap vektor.

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

Langkah 2

Vektor ortogonal pertama adalah vektor pertama dalam himpunan vektor yang diberikan.

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

Langkah 3

Gunakan rumus untuk menentukan vektor ortogonal lainnya.

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

Langkah 4

Tentukan vektor ortogonal ${v⃗}_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan rumus untuk menentukan ${v⃗}_{2}$ .

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Langkah 4.2

Substitusikan $(0, 1, 1)$ untuk ${u⃗}_{2}$ .

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Langkah 4.3

Temukan ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Temukan hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Hasil perkalian titik dari dua vektor adalah jumlah dari komponennya.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Langkah 4.3.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.2.1.1

Kalikan $0$ dengan $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Langkah 4.3.1.2.1.2

Kalikan $1$ dengan $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

Langkah 4.3.1.2.1.3

Kalikan $1$ dengan $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

Langkah 4.3.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

Langkah 4.3.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

Langkah 4.3.2

Tentukan norma dari ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Norma adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat setiap elemen di vektor.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Langkah 4.3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Langkah 4.3.2.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Langkah 4.3.2.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Langkah 4.3.2.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Langkah 4.3.2.2.5

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Langkah 4.3.3

Tentukan proyeksi ${u⃗}_{2}$ pada ${v⃗}_{1}$ menggunakan rumus proyeksi.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Langkah 4.3.4

Substitusikan $2$ untuk ${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Langkah 4.3.5

Substitusikan $\sqrt{3}$ untuk $| | {v⃗}_{1} | |$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Langkah 4.3.6

Substitusikan $(1, 1, 1)$ untuk ${v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Langkah 4.3.7

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Langkah 4.3.7.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Langkah 4.3.7.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Langkah 4.3.7.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Langkah 4.3.7.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Langkah 4.3.7.1.5

Evaluasi eksponennya.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

Langkah 4.3.7.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Langkah 4.3.7.3

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.3.1

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Langkah 4.3.7.3.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Langkah 4.3.7.3.3

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Langkah 4.4

Substitusikan proyeksinya.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Langkah 4.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Gabungkan setiap komponen pada vektor tersebut.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Langkah 4.5.2

Kurangi $\frac{2}{3}$ dengan $0$ .

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Langkah 4.5.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Langkah 4.5.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Langkah 4.5.5

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Langkah 4.5.6

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Langkah 4.5.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

Langkah 4.5.8

Kurangi $2$ dengan $3$ .

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Langkah 5

Tentukan basis ortonormal dengan membagi setiap vektor ortogonal dengan normanya.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}}$

Langkah 6

Tentukan vektor satuan $\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ di mana ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Untuk menemukan vektor satuan yang searah dengan vektor $v⃗$ , kalikan $v⃗$ salinan dari matriks.

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Langkah 6.2

Norma adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat setiap elemen di vektor.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Langkah 6.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Langkah 6.3.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

Langkah 6.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\sqrt{2 + 1}$

Langkah 6.3.5

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\sqrt{3}$

Langkah 6.4

Bagi vektor dengan normanya.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

Langkah 6.5

Bagi setiap elemen di vektor dengan $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

Langkah 7

Tentukan vektor satuan $\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ di mana ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Untuk menemukan vektor satuan yang searah dengan vektor $v⃗$ , kalikan $v⃗$ salinan dari matriks.

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Langkah 7.2

Norma adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat setiap elemen di vektor.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 7.3.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 7.3.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 7.3.3

Kalikan $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ dengan $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 7.3.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 7.3.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 7.3.6

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 7.3.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 7.3.8

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 7.3.9

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Langkah 7.3.10

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Langkah 7.3.11

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Langkah 7.3.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Langkah 7.3.13

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Langkah 7.3.14

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Langkah 7.3.15

Tambahkan $5$ dan $1$ .

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

Langkah 7.3.16

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.16.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Langkah 7.3.16.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.16.2.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Langkah 7.3.16.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Langkah 7.3.16.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Langkah 7.3.17

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Langkah 7.4

Bagi vektor dengan normanya.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Langkah 7.5

Bagi setiap elemen di vektor dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Langkah 7.6.2

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Langkah 7.6.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{3}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Langkah 7.6.4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\sqrt{2}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Langkah 7.6.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Langkah 7.6.6

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Langkah 7.6.7

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Langkah 7.6.8

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

Langkah 8

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})}$

Masukkan Soal