Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$

Langkah 1

Temukan vektor eigen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Temukan nilai eigennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik

$p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$

Langkah 1.1.2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo

$2$ adalah matriks persegi

$2 \times 2$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 1.1.3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Substitusikan

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ untuk

$A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ I_{2})$

Langkah 1.1.3.2

Substitusikan

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ untuk

$I_{2}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1.1

Kalikan

$- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1.2.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4.1.2.2

Kalikan

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1.2.2.1

Kalikan

$0$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4.1.2.2.2

Kalikan

$0$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4.1.2.3

Kalikan

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1.2.3.1

Kalikan

$0$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4.1.2.3.2

Kalikan

$0$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4.1.2.4

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Langkah 1.1.4.3

Sederhanakan setiap elemen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1

Tambahkan

$2$ dan

$0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Langkah 1.1.4.3.2

Tambahkan

$3$ dan

$0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]$

Langkah 1.1.5

Temukan determinan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 1.1.5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1.1

Perluas

$(4 - λ) (3 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 4 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 1.1.5.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 1.1.5.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 1.1.5.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1.2.1.1

Kalikan

$4$ dengan

$3$ .

$p (λ) = 12 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 1.1.5.2.1.2.1.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$4$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 1.1.5.2.1.2.1.3

Kalikan

$3$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 1.1.5.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Langkah 1.1.5.2.1.2.1.5

Kalikan

$λ$ dengan

$λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1.2.1.5.1

Pindahkan

$λ$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 1.1.5.2.1.2.1.5.2

Kalikan

$λ$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Langkah 1.1.5.2.1.2.1.6

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Langkah 1.1.5.2.1.2.1.7

Kalikan

$λ^{2}$ dengan

$1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Langkah 1.1.5.2.1.2.2

Kurangi

$3 λ$ dengan

$- 4 λ$ .

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Langkah 1.1.5.2.1.3

Kalikan

$- 3$ dengan

$2$ .

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6$

Langkah 1.1.5.2.2

Kurangi

$6$ dengan

$12$ .

$p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 6$

Langkah 1.1.5.2.3

Susun kembali

$- 7 λ$ dan

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

Langkah 1.1.6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan

$0$ untuk menemukan nilai eigen

$λ$ .

$λ^{2} - 7 λ + 6 = 0$

Langkah 1.1.7

Selesaikan

$λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1

Faktorkan

$λ^{2} - 7 λ + 6$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1.1

Mempertimbangkan bentuk

$x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya

$b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya

$6$ dan jumlahnya

$- 7$ .

$- 6, - 1$

Langkah 1.1.7.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$

Langkah 1.1.7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan

$0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan

$0$ .

$λ - 6 = 0$

$λ - 1 = 0$

Langkah 1.1.7.3

Atur

$λ - 6$ agar sama dengan

$0$ dan selesaikan

$λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.3.1

Atur

$λ - 6$ sama dengan

$0$ .

$λ - 6 = 0$

Langkah 1.1.7.3.2

Tambahkan

$6$ ke kedua sisi persamaan.

$λ = 6$

Langkah 1.1.7.4

Atur

$λ - 1$ agar sama dengan

$0$ dan selesaikan

$λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.4.1

Atur

$λ - 1$ sama dengan

$0$ .

$λ - 1 = 0$

Langkah 1.1.7.4.2

Tambahkan

$1$ ke kedua sisi persamaan.

$λ = 1$

Langkah 1.1.7.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$ benar.

$λ = 6, 1$

Langkah 1.2

Vektor eigen sama dengan ruang nol matriks dikurangi sebanyak nilai eigen matriks satuannya di mana

$N$ adalah ruang nol dan

$I$ adalah matriks satuan.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Langkah 1.3

Temukan vektor eigen menggunakan nilai eigen

$λ = 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 1.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.1

Kalikan

$- 6$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.2.1

Kalikan

$- 6$ dengan

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.1.2.2

Kalikan

$- 6$ dengan

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.1.2.3

Kalikan

$- 6$ dengan

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.1.2.4

Kalikan

$- 6$ dengan

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 4 - 6 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.3

Sederhanakan setiap elemen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.1

Kurangi

$6$ dengan

$4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.3.2

Tambahkan

$2$ dan

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.3.3

Tambahkan

$3$ dan

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & 3 - 6 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.3.4

Kurangi

$6$ dengan

$3$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]$

Langkah 1.3.3

Temukan ruang nol ketika

$λ = 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Tulis sebagai matriks imbuhan untuk

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.3.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.1

Kalikan setiap elemen

$R_{1}$ dengan

$- \frac{1}{2}$ untuk membuat entri pada

$1, 1$ menjadi

$1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.1.1

Kalikan setiap elemen

$R_{1}$ dengan

$- \frac{1}{2}$ untuk membuat entri pada

$1, 1$ menjadi

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.3.3.2.1.2

Sederhanakan

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.3.3.2.2

Lakukan operasi baris

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ untuk membuat entri di

$2, 1$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.2.1

Lakukan operasi baris

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ untuk membuat entri di

$2, 1$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 \cdot - 1 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 1.3.3.2.2.2

Sederhanakan

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.3.3.3

Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir sistem persamaan tersebut.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Langkah 1.3.3.4

Tulis vektor penyelesaian dengan menyelesaikan dalam suku dari variabel bebas dalam setiap baris.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Langkah 1.3.3.5

Tulis penyelesaian sebagai gabungan linear vektor.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 1.3.3.6

Tulis sebagai himpunan penyelesaian.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Langkah 1.3.3.7

Penyelesaiannya adalah himpunan vektor yang dibuat dari variabel bebas sistem.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 1.4

Temukan vektor eigen menggunakan nilai eigen

$λ = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Kurangkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 4 - 1 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan setiap elemen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Kurangi

$1$ dengan

$4$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.2.2

Kurangi

$0$ dengan

$2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.2.3

Kurangi

$0$ dengan

$3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 3 - 1 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.2.4

Kurangi

$1$ dengan

$3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Langkah 1.4.3

Temukan ruang nol ketika

$λ = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Tulis sebagai matriks imbuhan untuk

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1

Kalikan setiap elemen

$R_{1}$ dengan

$\frac{1}{3}$ untuk membuat entri pada

$1, 1$ menjadi

$1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1.1

Kalikan setiap elemen

$R_{1}$ dengan

$\frac{1}{3}$ untuk membuat entri pada

$1, 1$ menjadi

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{0}{3} \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2.1.2

Sederhanakan

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2.2

Lakukan operasi baris

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ untuk membuat entri di

$2, 1$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.2.1

Lakukan operasi baris

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ untuk membuat entri di

$2, 1$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 (\frac{2}{3}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2.2.2

Sederhanakan

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.4.3.3

Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir sistem persamaan tersebut.

$x + \frac{2}{3} y = 0$

$0 = 0$

Langkah 1.4.3.4

Tulis vektor penyelesaian dengan menyelesaikan dalam suku dari variabel bebas dalam setiap baris.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2 y}{3} \\ y \end{array}]$

Langkah 1.4.3.5

Tulis penyelesaian sebagai gabungan linear vektor.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]$

Langkah 1.4.3.6

Tulis sebagai himpunan penyelesaian.

${y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Langkah 1.4.3.7

Penyelesaiannya adalah himpunan vektor yang dibuat dari variabel bebas sistem.

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 1.5

Ruang eigen

$A$ adalah daftar ruang vektor untuk setiap nilai eigen.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 2

Tentukan

$P$ sebagai matriks eigen vektor.

$P = [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Langkah 3

Temukan balikan dari

$P$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Matriks balikan

$2 \times 2$ dapat ditemukan menggunakan rumus

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ di mana

$a d - b c$ adalah determinannya.

Langkah 3.2

Temukan determinan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 1 - - \frac{2}{3}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Kalikan

$1$ dengan

$1$ .

$1 - - \frac{2}{3}$

Langkah 3.2.2.1.2

Kalikan

$- - \frac{2}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.2.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$1 + 1 (\frac{2}{3})$

Langkah 3.2.2.1.2.2

Kalikan

$\frac{2}{3}$ dengan

$1$ .

$1 + \frac{2}{3}$

Langkah 3.2.2.2

Tuliskan

$1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Langkah 3.2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3 + 2}{3}$

Langkah 3.2.2.4

Tambahkan

$3$ dan

$2$ .

$\frac{5}{3}$

Langkah 3.3

Karena determinannya bukan nol, terdapat balikan.

Langkah 3.4

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus dengan balikannya.

$P^{- 1} = \frac{1}{\frac{5}{3}} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Langkah 3.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$P^{- 1} = 1 (\frac{3}{5}) [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Langkah 3.6

Kalikan

$\frac{3}{5}$ dengan

$1$ .

$P^{- 1} = \frac{3}{5} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Langkah 3.7

Kalikan

$\frac{3}{5}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 1 & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.8

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Kalikan

$\frac{3}{5}$ dengan

$1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.8.2

Batalkan faktor persekutuan dari

$3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.8.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot 2 \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.8.3

Gabungkan

$\frac{1}{5}$ dan

$2$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.8.4

Kalikan

$\frac{3}{5} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.4.1

Gabungkan

$\frac{3}{5}$ dan

$- 1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3 \cdot - 1}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.8.4.2

Kalikan

$3$ dengan

$- 1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.8.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.8.6

Kalikan

$\frac{3}{5}$ dengan

$1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

Langkah 4

Gunakan transformasi kesamaan untuk menemukan matriks diagonal

$D$ .

$D = P^{- 1} A P$

Langkah 5

Substitusikan matriks.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Dua matriks dapat dikalikan jika dan hanya jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Dalam kasus ini, matriks pertama adalah

$2 \times 2$ dan matriks kedua adalah

$2 \times 2$ .

Langkah 6.1.2

Kalikan setiap baris pada matriks pertama dengan setiap kolom pada matriks kedua.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{2}{5} \cdot 3 & \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{2}{5} \cdot 3 \\ - \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{3}{5} \cdot 3 & - \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{3}{5} \cdot 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Langkah 6.1.3

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks dengan mengalikan semua pernyataannya.

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Langkah 6.2

Kalikan

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Dua matriks dapat dikalikan jika dan hanya jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Dalam kasus ini, matriks pertama adalah

$2 \times 2$ dan matriks kedua adalah

$2 \times 2$ .

Langkah 6.2.2

Kalikan setiap baris pada matriks pertama dengan setiap kolom pada matriks kedua.

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} \cdot 1 + \frac{12}{5} \cdot 1 & \frac{18}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{12}{5} \cdot 1 \\ - \frac{3}{5} \cdot 1 + \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks dengan mengalikan semua pernyataannya.

$[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Masukkan Soal